Expression des fonctions de Lommel au moyen des fonctions de Legendre. (Q1833710)

Die \textit{Lommel}schen Funktionen \(s_{\mu\nu}(z)\) (nur für \(\mu \pm\nu\) nicht negativ ganz und ungerade erklärt) und \(S_{\mu\nu}(z)\) sind partikuläre Lösungen der nichthomogenen Differentialgleichung \[ z^2u'' + zu' + (z^2-\nu^2)u = z^{\mu+1}, \] deren zugehörige homogene Gleichung die \textit{Bessel}sche ist (vgl. \textit{Watson}, Theory of Bessel functions, Cambridge 1922 (F. d. M 48, 412), S. 345-354). Man setze nun \(u = z^{\frac 12(a-1)}y\) und trage in die linke Seite der für \(y\) entstehenden Differentialgleichung (nach Division mit \(z^{\frac 12(a-1)})\) \[ y = \int\limits_{\mathfrak G}e^{izt}T(t)\,dt \] ein, wo \(\mathfrak G\) einen noch zu bestimmenden Integrationsweg bedeutet. Die bei der \textit{Laplace}schen Transformation gebräuchliche partielle Integration führt dann für \(T(t)\) auf die Differentialgleichung \[ (1 - t^2) T''+(a-4)tT'+\left(\nu^2-\left(\frac{a-3}2\right)^2\right)T=0. \] Dieser aber genügen die Funktionen \((t^2- 1)^{-\frac m2}P_n^m(t)\), \((t^2-1)^{-\frac m2}Q_n^m(t)\) mit \(m = 1 -\dfrac a2\), \(n=\nu-\dfrac 12\) (\(P_n^m(t)\), \(Q_n^m(t)\) die zugeordneten \textit{Legendre}schen Funktionen erster und zweiter Art mit allgemeinen Indices). Die ausintegrierten Bestandteile reduzieren sich bei geeigneter Wegwahl auf \(\alpha z+ \beta\) (\(\alpha\), \(\beta\) konstant), woraus folgt, daß \(u\) eine Linearkombination aus einer gewöhnlichen Zylinderfunktion und zwei \(s\)-, bzw. \(S\)-Funktionen sein muß, deren erste Indices sich nur um 1 unterscheiden. Wählt man insbesondere \[ (1)\quad \text{den Weg} \;(01^+0), \quad (2)\quad \text{einen passenden Halbstrahl} \;0 \infty \] (z. B. für \(\Re(z) > 0\) die positive imaginäre Achse), so kommen die Zylinderfunktionen in Fortfall -- im ersten Fall leicht mit Hilfe der bekannten Entwicklung von \(s_{\mu\nu}(z)\) nach Potenzen von \(z\) zu sehen, im zweiten Fall weniger einfach durch einen Grenzübergang \(z \to 0\) unter Heranziehung der Darstellung von \(S_{\mu\nu}(z)\) mittels \textit{Bessel}funktionen -- und man gelangt so zu Integraldarstellungen der \(s\) bzw. S. Diese werden schließlich, wenn wieder \(\mu\) und \(\nu\) eingeführt werden, von folgender Gestalt: \[ \begin{aligned} s_{\mu\nu}(z) = C_{\mu\nu}z^\mu\int\limits_{(01^+0)} \sin zt \cdot (t^2-1)^{\frac{2\mu-1}4}P_{\nu-\frac 12}^{-\mu+\frac 12}(t)\,dt \quad (\cos \mu\pi \neq 0),& \\ S_{\mu\nu}(z)=D_{\mu\nu}z^\mu\int\limits_0^\infty e^{-zt}(t^2+1)^ {\frac{2\mu-1}4}\left\{P_{\nu-\frac 12}^{-\mu+\frac 12}(it)+e^{(\mu-\frac 12)\pi i}P_{\nu-\frac 12}^{-\mu+\frac 12}(-it)\right\}\,dt.& \end{aligned} \] (\(C_{\mu\nu}\), \(D_{\mu\nu}\) von \(z\) unabhängig; \(\mu\pm \nu\) nicht negativ, ganz, ungerade). Aus der letzteren ergibt sich auch eine sehr einfache Herleitung der (bekannten) asymptotischen Entwicklung von \(S_{\mu\nu}(z)\). (Anmerkung des Ref: Umgekehrt könnte man unter Benützung der asymptotischen Entwicklung für \(S_{\mu\nu}\) die Integraldarstellung einfacher gewinnen.) Auch die Ausnahmefälle werden nach den üblichen Methoden des Grenzübergangs in den Parametern und der Zusammenziehung der Integrationswege behandelt.