Quadratic equations with an infinity of unknowns. (Q1833729)

Verf. betrachten unendlich viele quadratische Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten der Form \[ \sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty A_{mn\nu}\xi_m\xi_n = C_\nu \qquad (\nu = 1,2,3,\ldots ) \] mit gegebenen reellen positiven \(A_{mn_\nu}\) und \(C_\nu\). Gesucht sind reelle Folgen \(\xi_n\), welche die Gleichungen erfüllen. Durch eine einfache Substitution kann die Gestalt \[ x_\nu^2 + \sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty a_{mn\nu}x_mx_n = 1, \quad a_{\nu\nu\nu} = 0, \quad \nu = 1,2,3,\ldots, \] erreicht werden. Es wird gezeigt, daß es eine Zahl \(\alpha\), die zwischen \(\dfrac{15}{32}\) und \(\dfrac{1}{2}\) liegt, mit der Eigenschaft gibt, daß, wenn die obere Grenze \(\theta\) von \[ \sum\limits_{m=1}^\infty\sum\limits_{n=1}^\infty |a_{mn\nu}| \qquad (\nu = 1,2,3,\ldots) \] unter \(\alpha\) liegt, es genau ein reelles, beschränktes Lösungssystem \(x_1,x_2,x_3,\ldots\) mit vorgeschriebener Vorzeichenverteilung gibt. In diesem Falle gelingt nämlich die Methode der sukzessiven Approximationen. Freilich können neben der so erhaltenen Lösung noch weitere nicht beschränkte vorhanden sein, wie schon das Beispiel \[ x_\nu^2 - \varTheta x_{\nu + 1}^2 = 1 \qquad (\nu = 1,2,3,\ldots) \] zeigt.