Sur la dérivée faible d'un ensemble de fonctionnelles linéaires. (Q1833759)

Es sei \(X\) ein Vektorraum, in dem ein Normbegriff erklärt ist und der im \textit{Hausdorff}schen Sinne vollständig und separabel sei. Eine Folge auf \(X\) erklärter linearer Funktionale \(\{f_n(x)\}\) heißt schwach konvergent gegen das Funktional \(f(x)\), wenn für jedes \(x \subset X\) gilt: \[ \lim _{n\to\infty}f_n(x) = f(x). \] \(f\) muß sodann ein lineares Funktional sein. \(R\) sei eine Menge linearer Funktionale, \(R'\) sei die Menge aller Funktionale \(f\) von folgender Eigenschaft: Es gibt eine Folge \(\{f_n\}\), so daß \(f_n \subset R\), \(f_n\neq f\), und \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n=f\). \(R'\) wird als schwache Ableitung von \(R\) bezeichnet. Ist \(R'\subset R\), R, so heißt \(R\) schwach abgeschlossen. Die schwache Ableitung \(R'\) einer Menge \(R\) von linearen Funktionalen braucht nicht schwach abgeschlossen zu sein. Verf. zeigt nun, daß dies auch dann nicht der Fall zu sein braucht, wenn man noch weiß, daß \(R\) eine lineare Menge ist, und beantwortet so eine von Banach gestellte Frage im bejahenden Sinne. (IV 3 C.)