Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen. (Q1833793)

Für das System \[ x_\nu'(t)=\sum_{\mu=1}^n f_{\nu\mu}(t)x_\mu +\varphi_\nu(t,x_1, \ldots, x_n) \quad (\nu=1,2,\ldots,n), \tag{1} \] in welchem die Koeffizienten \(f_{\nu\mu}(t)\) für \(t>0\) stetig und beschränkt und die Zusatzfunktionen \(\varphi_\nu(t,x_1, \ldots,x_n)\) geeigneten Bedingungen unterworfen sind, werden die für \(t \to \infty\) gegen Null strebenden und allgemeiner die beschränkten Integrale \(x_1(t), \ldots, x_n(t)\) untersucht. Sind die Koeffizienten \(f_{\nu\mu}(t)\) Konstanten \(a_{\nu\mu}(t)\) und streben alle Integrale des reduzierten Systemes für \(t \to \infty\) gegen Null, so gilt dasselbe auch von allen Integralen des Systemes mit Zusatzgliedern, wenn diese im Vergleich zu den linearen Gliedern hinreichend klein und auch die Anfangswerte dieser Integrale absolut hinreichend klein sind (Fall der Stabilität). Ein entsprechender Satz gilt, wie durch ein Beispiel belegt wird, beim allgemeinen System (1) mit variablen Koeffizienten nicht, selbst wenn die Integrale des reduzierten Systemes so rasch wie eine Exponentialfunktion \(e^{-\varrho t}\) gegen Null streben. Man gewinnt aber brauchbare Ergebnisse, wenn man die Voraussetzung macht, daß das System \[ x_\nu'= \sum_{\mu=1}^nf_{\nu\mu}(t)x_\mu+\psi_\nu(t)\quad (\nu=1,2,\ldots,n) \tag{2} \] für beliebige stetige Funktionen \(\psi_\nu(t)\) stets wenigstens ein beschränktes Integral besitzt; sie ist bei dem System mit konstanten Koeffizienten immer erfüllt, wenn keine Wurzel der charakteristischen Gleichung \[ \|a_{ik}-\delta_{ik}x\|=0\quad (\delta_{ik}=0 \;\text{für} \;i\neq k; \;\delta_{ii}=1) \] rein imaginär ist; bei dem allgemeinen System (1) stellt sie aber eine wesentlich neue Forderung dar. Die Frage, ob das System (2) für alle \(\psi_\nu(t)\) ein beschränktes Integral besitzt, kann allein aus dem Verhalten der Funktionen \(f_{\nu\mu}(t)\) oder, was auf dasselbe hinauskommt, aus dem Verhalten der Lösungen des homogenen Systems \[ x_\nu'=\sum_{\mu=1}^n f_{\nu\mu}(t)x_\mu\quad (\nu= 1,2, \ldots,n) \] erschlossen werden. Die Sätze werden zunächst für ein System der Form \[ x_\nu'=\sum_{\mu=1}^\nu g_{\nu\mu}(t)x_\mu + \chi_\nu(t,x_1, \ldots, x_n)\quad (\nu= 1,2, \ldots,n) \tag{3} \] bewiesen, in dem die Koeffizienten oberhalb der Hauptdiagonalen alle Null sind. Dieses System hat dann und nur dann für beliebige Zusatzglieder \(\chi_\nu\) nur beschränkte Integrale, wenn die \(2n\) Funktionen \[ e^{G_\nu(t)}, \;e^{G_\nu(t)}\int\limits_0^t|e^{-G_\nu(\tau)}|\,d\tau\quad (\nu= 1, 2, \ldots, n; \;G_\nu(t)=\int\limits_0^tg_{\nu\nu}(\tau)\,d\tau) \] beschränkt sind. Wenn die Zusatzglieder einer geeigneten \textit{Lipschitz}bedingung genügen und die Anfangswerte \(x_\nu(0)\) absolut nicht zu groß sind, gilt sogar die Beziehung \[ \lim_{t\to \infty }\sum_{\mu=1}^n |x_\mu(t)|=0 \] (Fall der Stabilität). Ein Index \(\nu\) gehöre zur Klasse \(A\), wenn \[ |e^{G_\nu(t)}|\leqq L_1, \quad |e^{G_\nu(t)}|\int\limits_0^t|e^{-G_\nu(\tau)}|\,d\tau\leqq L_2, \] zur Klasse \(B\), wenn \[ |e^{G_\nu(t)}|\quad \text{nicht beschränkt,}\quad |e^{G_\nu(t)}|\int\limits_0^t|e^{-G_\nu(\tau)}|\,d\tau\leqq L_2, \] wobei \(L_1\) und \(L_2\) geeignete Konstanten sind. Dann gibt es, wenn man \(x_\nu(0) = c_\nu\) für jedes \(\nu\) aus \(A\) in gewissem Rahmen willkürlich vorschreibt, genau ein Integral \(x_1(t),\ldots, x_n(t)\) mit diesen Anfangswerten, das für alle \(t\) innerhalb gewisser Schranken bleibt. Wenn außerdem \[ \chi_\nu(t,0,0,\ldots, 0) = 0\quad (\nu = 1, 2,\ldots, n), \] so ist für dieses Integral \[ \lim_{t\to \infty}\sum_{\mu=1}^n|x_\mu(t)| = 0. \] Ist die Klasse A leer, so kann man kein \(x_\nu(0)\) willkürlich vorschreiben; es gibt nur ein einziges Integral, das innerhalb der erwähnten Schranken bleibt; es ist im Fall \(\chi_\nu(t, 0,\ldots, 0) = 0\) das Integral \(x_\nu(t) = 0\) (Fall der vollkommenen Instabilität). Ist die Klasse \(B\) leer, so sind alle Anfangswerte \(x_\nu(0)\) willkürlich wählbar (Fall der Stabilität). Gibt es sowohl in \(A\) als auch in \(B\) Indices \(\nu\), so liegt bedingte Stabilität vor. Der Fall des allgemeinen Systems (1) wird auf diesen Spezialfall mittels geeigneter Transformationen zurückgeführt. Wegen der genauen Formulierung der Ergebnisse muß auf die Arbeit verwiesen werden.