La résolution du problème de Cauchy pour un système d'équations du second ordre par la méthode de Riemann. (Q1833875)

Verf. löst das \textit{Cauchy}sche Problem für ein System von zwei hyperbolischen Differentialgleichungen \[ L_i\equiv\frac{\partial^2u_i}{\partial x\partial y}+\left\{ a_{i1}\frac{\partial u_1}{\partial x}+ a_{i2}\frac{\partial u_1}{\partial y}+ b_{i1}\frac{\partial u_2}{\partial x}+ b_{i2}\frac{\partial u_2}{\partial y}+ c_{i1}u_1+c_{i2}u_2\right\}=f_i \] mit in \(x\), \(y\) stetigen Koeffizienten. Im achsenparallelen Rechteck \(ABDC\) sei \(BC\) eine einfache Kurve, auf der \(u_i\) und die Ableitungen gegeben (\(= 0\)) sind. Fügt man zur Klammer einen Faktor \(\lambda\) hinzu, so läßt sich die Lösung in der Form \[ u_i(x,y;\lambda)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n u_{i,n}(x,y)\qquad (i=1,2) \] entwickeln, in der die \(u_{i,n}\) sich rekursiv durch Doppelintegrale berechnen, deren leichte Abschätzung die gleichmäßige Konvergenz des Verfahrens gewährleistet. Ebenso wie diese Approximationsmethode läßt sich auch das \textit{Riemann}sche Lösungsverfahren übertragen, indem man die adjungierten Ausdrücke \[ \begin{matrix}\l&\r&\r&\r&\r&\r&\r\\ M_1\equiv\dfrac{\partial^2U_1}{\partial x\partial y}- & \dfrac{\partial(a_{11}U_1)}{dx}- & \dfrac{\partial(a_{12}U_1)}{dy}- & \lambda\dfrac{\partial(a_{21}U_2)}{dx}- & \lambda\dfrac{\partial(a_{22}U_2)}{dy}+ & c_{11}U_1+ & \lambda c_{21}U_2,\\ M_2\equiv\dfrac{\partial^2U_2}{\partial x\partial y}- & \dfrac1\lambda \dfrac{\partial(b_{11}U_1)}{dx}- & \dfrac1\lambda \dfrac{\partial(b_{12}U_1)}{dy}- & \dfrac{\partial(b_{21}U_2)}{dx}- & \dfrac{\partial(b_{22}U_2)}{dy}+ & \dfrac1\lambda c_{12}U_1+ & c_{22}U_2 \end{matrix} \] bildet. Ist \(M (\xi,\eta)\) in \(ABCD\) gelegen und sind \(MP\), \(MQ\) die Achsenparallelen nach der Kurve \(BC\), so sind die Lösungen \(U_i(x, y; \xi, \eta; \lambda)\) von \(M_1 = M_2 = 0\) zu suchen, die auf \(MQ\) bzw. \(MP\) die Randbedingungen \[ \begin{aligned} &\frac{\partial U_1}{\partial x}-a_{12}U_1-\lambda a_{22}U_2=0,\quad \frac{\partial U_2}{\partial x}-\frac1\lambda b_{12}U_1-b_{22}U_2=0,\\ \noalign{\text{bzw.}}\\ &\frac{\partial U_1}{\partial y}-a_{11}U_1-\lambda a_{21}U_2=0,\quad \frac{\partial U_2}{\partial y}-\frac1\lambda b_{11}U_1-b_{21}U_2=0 \end{aligned} \] erfüllen und in \(M\) den Wert \(1\) haben. Die Bestimmung dieser ``\textit{Riemann}schen Funktionen'' läßt sich auf ein \textit{Picard}sches Randwertproblem zurückführen und durch schrittweise Approximation lösen; diese Funktionen genügen einem dem klassischen analogen Vertauschungssatz; ihre Kenntnis ermöglicht die geschlossene Lösung des \textit{Cauchy}schen Problems für \(L_i\).