A generalization of the Sturm separation und comparison theorems in \(n\)-space. (Q1833884)

Die betrachteten Systeme linearer Differentialgleichungen lassen sich auf die kanonische Form \[ (r_{ij}y_j')'-p_{ij}y_j=0\qquad (i,j=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] bringen (über doppelt auftretende Indices ist zu summieren; der Strich deutet die Differentiation nach der unabhängigen Veränderlichen \(x\) an); dabei sind die \(r\) und \(p\) zweimal stetig differenzierbare Funktionen von \(x\), und es ist \(r_{ij}\eta_i\eta_j>0\) für jedes System \((\eta) \neq 0\) und jedes \(x\) auf dem betrachteten Intervall. Aus (1) folgt, daß für je zwei Lösungen \((y)\), \((z)\) \[ r_{ij}(y_iz_j' - z_iy_j') = \text{const} \] ist; ist diese Konstante gleich Null, so heißen \((y)\), \((z)\) miteinander ``konjugiert''; \(n\) paarweise konjugierte Lösungen bilden eine ``konjugierte Basis''; ihre linearen Verbindungen bilden ein ``konjugiertes System''; die Nullstellen ihrer Determinante \(D(x)\) heißen die ``Brennpunkte'' des Systems; jedes konjugierte System besitzt eine in einem gegebenen Punkt \(a\) ``unitäre'' Basis \(y_{ij}\), d. h. eine solche, für die \[ y_{ii}(a)=1,\quad y_{ij}(a)=0\qquad\qquad(i\neq j) \] ist; die ``Anfangselemente'' der unitaren Basis sind \[ g_{ij}(a) = r_{ik}(a)y_{kj}'(a); \] wie man leicht sieht, ist \(g_{ij}= g_{ji}\). Die Brennpunkte der konjugierten Systeme übernehmen bei der Verallgemeinerung der klassischen \textit{Sturm}schen Sätze die Rolle der Nullstellen der Lösungen einer einzigen Gleichung. Theorem 6, Korollar 1: ``Die Anzahlen der Brennpunkte zweier konjugierter Systeme auf einem gegebenen Intervall unterscheiden sich voneinander höchstens um \(n\).'' Theorem 9: ``Neben (1) sei noch das System \[ (\bar r_{ij}y_j')'-\bar p_{ij}y_j=0 \tag{\(\overline 1\)} \] vorgelegt; es sei \[ \begin{aligned} \bar r_{ij}\eta_i\eta_j&<r_{ij}\eta_i\eta_j,\\ \bar p_{ij}\eta_i\eta_j&<p_{ij}\eta_i\eta_j \end{aligned} \] für jedes System \((\eta) \neq 0\); \(F\) und \(\overline F\) seien konjugierte Systeme von (1) bzw. \((\overline 1)\) mit denselben Anfangselementen \(g_{ij}=\bar g_{ij}\) an einer Stelle \(a\). Dann liegen die Brennpunkte von \(\overline F\) enger beieinander als die von \(F\).'' Die Anzahlen der Brennpunkte werden mit den Rängen und Typen quadratischer Formen in Beziehung gebracht, die den konjugierten Systemen zugeordnet werden. Die hierauf bezüglichen Sätze stehen in engem Zusammenhang mit den Untersuchungen des Verf. über ``Variationsrechnung im Großen'' (Transactions A. M. S. 31 (1929), 379-404; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 906), die nach Angabe des Verf. auch den Anstoß zu der vorliegenden Abhandlung gegeben haben. (IV 9.)