The foundations of a theory of the calculus of variations in the large im \(m\)-space. II. (Q1833885)

Die Arbeit ist die Fortsetzung des ersten Teiles (Transactions A. M. S. 31 (1929), 379-404; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 906), im folgenden als M I zitiert. Es werden die Extremalenbögen \(g\) untersucht, die zwei feste Punkte \(P\), \(Q\) eines extremalkonvexen Bereiches \(S\) im \(R^m\) verbinden. Jedem \(g\) kommt ein ``Typus'' zu: die Anzahl der zu \(P\) konjugierten Punkte auf \(g\). Die Extremal-Polygone mit \(n\) Ecken -- bei geeigneter Einschränkung von \(n\) und der Länge der Polygonseiten --, die \(P\) und \(Q\) verbinden, bilden eine \(mn\)-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit \(\varSigma\); die Werte des dem Variationsproblem zugrunde liegenden Integrals längs diesen Polygonen definieren eine Funktion in \(\varSigma\); deren kritische Punkte entsprechen den Bögen \(g\), und der Typus von \(g\) ist der Typus des zugehörigen kritischen Punktes. Daher lassen sich die früher vom Verf. bewiesenen Relationen zwischen kritischen Stellen und \textit{Betti}schen Zahlen (Transactions A. M. S. 27, 345-396; F. d. M. 51, 451 (JFM 51.0451.*)) anwenden. (In M I sind ähnliche Anwendungen gemacht worden, aber nicht auf die Extremalen zwischen zwei festen Punkten, sondern auf eine leichter zu behandelnde Frage: M I, dritter Teil). In dem einfachen und wichtigen Fall, in dem S einem Simplex homöomorph ist, wird auch das Ergebnis besonders einfach und brauchbar: Es bestehen Ungleichungen zwischen den Anzahlen der Extremalen der verschiedenen Typen, ohne daß \textit{Betti}sche Zahlen auftreten, die man erst bestimmen müßte. Am Anfang der Untersuchung müssen Schwierigkeiten beseitigt werden, die infolge der Kompliziertheit des Randes von \(\varSigma\) entstehen; dies geschieht durch geeignete Deformationen von \(\varSigma\). Schließlich wird darauf hingewiesen, daß die Ergebnisse nicht nur für extremalkonvexe Bereiche im \(R^m\), sondern auch für geschlossene \(m\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten \(S\) hergeleitet werden können. Der Beweis des folgenden Satzes wird angekündigt: Wenn \(S\) der \(m\)-dimensionalen Sphäre homöomorph ist, so gibt es zwischen je zwei Punkten \(P\), \(Q\) unendlich viele Extremalenbögen, genauer: Extremalenbögen von beliebig großer Länge.