On a generalisation of formulae for polynomial interpolation. (Q1834067)

Verf. geht davon aus, daß sich alle üblichen Interpolationsformeln durch Operatoren erzeugen lassen (z. B. Differenzenbildung, Differentiation). Es sei \(\theta\) ein beliebiger Operator, \(\varTheta\) seine Umkehrung. Wendet man diese auf ein Polynom \(u_x\) hintereinander an, so reproduziert sich dieses, wobei eine Konstante \(u_0\) unbestimmt bleibt: Es ist also: \(\varTheta u_x= u_x-u_0\). Verf. bewies (vgl. Proceedings Edinburgh Math. Soc. (2) 1 (1929), 199-203; F. d. M. \(55_{\text I}\), 269) durch vollständige Induktion den Satz: Ist \(u_x\) ein Polynom \(n\)-ten Grades, und sind die \(\theta_{\nu}\) Operatoren, so gilt \[ u_x = u_0 + (\theta_1 u_0) \varTheta_1 1 + (\theta_2\theta_1 u_0)\cdot \varTheta_1\varTheta_2 1 + \cdots +(\theta_n\theta_{n-1}\ldots\theta_1 u_0) \varTheta_1\varTheta_2 \ldots \varTheta_n 1. \] Verf. gibt einen neuen Beweis hierfür an, dessen Methode ganz analog dem \textit{Newton}schen Beweise für seine Interpolationsformel ist.