Bemerkungen über das Tschebyscheffsche Verfahren zur numerischen Integration. (Q1834073)

Bei den Mittelwertmethoden geht man aus von der durch Integration der \textit{Lagrange}schen Interpolationsformel entstehenden Gleichung \[ \int\limits_a^b f(x)\, dx = \sum_{\nu=0}^n h_{\nu}f(x_{\nu}) + \int\limits_a^b \psi(x)f(x_0,x_1,\ldots,x_n,x)\, dx, \tag{1} \] in der \(\psi(x) = (x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n)\) und \(f(x_0,x_1,\ldots,x_n,x)\) die \((n + 1)\)-te Steigung (dividierte Differenz) bedeutet. Das Restglied \(\displaystyle R=\int\limits_a^b \psi(x)f(x_0,x_1,\ldots,x_n,x)\, dx\) verschwindet für Polynome bis zum Grade \(n\) einschließlich. Zur Berechnung der \(n +1\) Interpolationsstellen \(x_{\nu}\) bei den \textit{Tschebyscheff}schen Formeln, in denen die Gewichte \(h_{\nu}\), alle gleich sind \(\left(\text{mit} \quad \sum\limits_{\nu=0}^n h_{\nu}=1\right)\), wird in (1) für \(f(x)\) der Reihe nach \(x, x^2,\ldots, x^n\) eingesetzt. Dadurch sind die \(x_{\nu}\) aber noch nicht eindeutig bestimmt; es wird daher als Zusatzbedingung verlangt, daß der \textit{Tschebyscheff}sche Näherungsausdruck das Integral links in (1) für Polynome nicht nur bis zum \(n\)-ten, sondern bis zum \((n + 1)\)-ten Grade fehlerfrei darstelle; das ist für \(f(x)= x^{n+1}\) gleichbedeutend mit der Bedingung \[ \int\limits_a^b \psi(x)\, dx = \int\limits_a^b (x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n) \, dx = 0. \tag{2} \] Aus den nunmehr \(n + 1\) Gleichungen, die die Werte der ersten \(n + 1\) Potenzsummen der \(n + 1\) Interpolationsstellen \(x_{\nu}\) ergeben, lassen sich sofort die symmetrischen Grundfunktionen der \(x_{\nu}\) und damit die Polynome \(\psi(x)\) aufstellen. Verf. berechnet (nach der üblichen Transformation der Intervalles \((a, b)\) auf \((-1, +1)\)) diese Polynome für \(n=1\) bis \(n = 9\) und ihre Nullstellen. Für das Restglied werden unter gewissen Annahmen, die jedenfalls für die ersten \(n\) -- vermutlich auch allgemein? -- erfüllt sind, einfache Ausdrücke abgeleitet. Zum Schluß zeigt Verf. noch, daß bei der Herleitung des Ausdruckes, den \textit{Tschebyscheff} zur Bildung der algebraischen Gleichung für die \(x_{\nu}\) erhält, wiederum die Zusatzbedingung (2) eine ausschlaggebende Rolle spielt.