Über die lückenlose Erfüllung des Raumes mit Würfeln. (Q1834086)

Verf. ging ursprünglich -- im Anschluß an eine von der Frankfurter Universität gestellte Preisaufgabe -- davon aus, zu beweisen, daß in jeder Zerlegung des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raums in kongruente gleichgestellte Würfel, deren Mittelpunkte ein Gitter bilden, mindestens zwei Würfel vorhanden sind, die eine ganze Seitenfläche gemeinsam haben. Diese sogenannte ``\textit{Minkowski}sche Vermutung'' spielt in der Zahlentheorie bei der Abschätzung eines Systems von \(n\) Linearformen in \(n\) Veränderlichen eine Rolle. Die Beschäftigung mit dieser Frage -- die nicht gelöst wird -- führte den Verf. dazu, sich allgemein mit beliebigen Zerlegungen des \(n\)-dimensionalen Raumes in kongruente, parallel gestellte Würfel -- ohne die Gittervoraussetzung -zu befassen. Er leitet hierüber eine Anzahl von Sätzen ab, von denen die wichtigsten die sind, daß man jede beliebige solche Erfüllung des Raumes kontinuierlich in die Normalerfüllung -- d. h. in die dem Schachbrett in der Ebene entsprechende Zerlegung -verschieben kann, ohne die Lückenlosigkeit oder die Schlichtheit zu verletzen, und daß unter den Koordinatendifferenzen zweier beliebiger Würfel -- das Koordinatensystem hat zu den Würfelkanten parallele Achsen, auf denen mit der Länge der Würfelkante als Einheit gemessen wird -- mindestens eine ganze von Null verschiedene Zahl vorhanden ist. Zum Schluß werden Anwendungen der allgemeinen Sätze auf die Zerlegung des dreidimensionalen Raumes gemacht. In diesem Fall werden die sämtlichen möglichen Fälle beschrieben. (V 3.)