A converse of the Jordan-Brouwer separation theorem in three dimensions. (Q1834102)

Im dreidimensionalen Raum reicht bekanntlich die Erreichbarkeit der Punkte einer abgeschlossenen beschränkten Menge \(C\) von den Komplementärgebieten aus nicht hin, um aus den charakteristischen Zerlegungseigenschaften schließen zu können, daß \(C\) eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist (\textit{L. E. J. Brouwer}). Die Eigenschaft der in den \(R^n\) eingebetteten \((n - 1)\)-dimensionalen Sphären \(M^{n-1}\), die Verf. hier anstelle der Erreichbarkeit einführt, um zu einer Umkehrung des \textit{Jordan-Brouwer}schen Satzes im \(R^3\) zu gelangen, ist die folgende: Die 0-Zyklen eines jeden Komplementärgebiets \(D\) von \(M^{n-1}\) sollen \textit{gleichmäßig homolog} 0 in \(D\) sein, d. h. zu jedem \(\varepsilon >0\) gibt es ein \(\delta >0\) von der Eigenschaft, daß jeder 0-Zyklus \(\varGamma ^0\) von \(D\), dessen Durchmesser kleiner als \(\delta \) ist, eine 1-Kette (stetiges Bild eines eindimensionalen Komplexes) in \(D\) berandet, deren Durchmesser kleiner als \(\varepsilon \) ist. Zunächst zeigt Verf., daß den in den \(R^n\) eingebetteten Sphären \(M^{n-1}\) die genannte Eigenschaft -- aus der die reguläre Erreichbarkeit der Punkte der \(M^{n-1}\) von den Komplementärgebieten aus folgt -- tatsächlich zukommt (Satz 1). Es handelt sich dann weiter darum, die zweidimensionalen Sphären durch solche innere Eigenschaften zu charakterisieren, von denen der Übergang zu den kombinatorischen Invarianten der Komplementärgebiete leicht vollzogen werden kann. Das leistet der Satz 2: \(M\) sei eine kompakte Menge in einem metrischen separablen Raum, die wenigstens eine einfach geschlossene Kurve enthält und folgenden Bedingungen genügt: (1) \(M\) wird durch keinen Bogen zerlegt; (2) \(M\) wird durch jede einfach geschlossene Kurve in zwei Komponenten zerlegt, die gleichmäßig zusammenhängend im Kleinen sind. Dann ist \(M\) einer zweidimensionalen Sphäre homöomorph. Der Beweis wird durch Zurückführung auf bekannte Charakterisierungen der Kugel durch \textit{R. L. Moore, J. R. Kline} und \textit{I. Gawehn} geführt. Auf Grund dieses Satzes gelangt Verf. dann zu Satz 3: \(K\) sei eine abgeschlossene beschränkte Menge im \(R^3\), die den \(R^3\) in zwei zueinander fremde Teile \(S_1\) und \(S_2\) zerlegt, so daß (1) jeder Bogen, der einen Punkt von \(S_1\) mit einem Punkt von \(S_2\) verbindet, \(K\) trifft, (2) in jeder Umgebung jedes Punktes \(P\) von \(K\) ein (evtl. auf \(K\) gelegener) Punkt \(P'\) existiert, der in \(R^3\) -- \(K\) mit einem beliebig gegebenen Punkt \(Q\) ( der nicht auf \(K\) liegt) durch einen Bogen verbunden werden kann, (3) die 0-Zyklen von \(S_i\) (\(i = 1, 2\)) in \(S_i\) gleichmäßig homolog Null sind und (4) die eindimensionale Zusammenhangszahl mod 2 von \(R^3\) -- \(K\) (in der Terminologie von \textit{Alexander}, also die um 1 erhöhte \textit{Betti}sche Zahl) gleich 1 ist; dann ist \(K\) einer Kugel homöomorph. Das kann man auch etwas anders formulieren, so daß an Stelle von (1) und (2) eine Aussage über die 0-dimensionale Zusammenhangszahl mod 2 von \(R^3\) -- \(K\) und die Forderung, daß jeder Punkt von \(K\) zur Grenze jedes Komplementärgebiets von \(K\) gehöre, tritt (Satz 4). In einem Anhang bringt Verf. einen Satz über die Äquivalenz der Eigenschaften der gleichmäßigen 0-Homologie der 0-Zyklen und des gleichmäßigen Zusammenhangs im Kleinen für offene Mengen. Ferner geht er kurz auf die gleichmäßige 0-Homologie in höheren Dimensionen (im \(R^n\)) ein.