Über topologisch homogene Kontinua. (Q1834108)

Sind unter den allgemeinen Kontinua die \textit{Mannigfaltigkeiten} durch ihre \textit{Homo\-genität\-seigenschaften} charakterisiert? Diese Frage wird in der vorliegenden Arbeit im negativen Sinne beantwortet. Verf. konstruiert für jede natürliche Zahl \(n\) ein als ``\(n\)-\textit{adische Solenoide}'' bezeichnetes eindimensionales Kontinuum \(\varSigma _n\), das nicht lokal zusammen\-hängend, also sicher kein topologisches Bild des Kreises, trotzdem aber homogen ist und zwar im schärfsten Sinne, nämlich involutorische homogen (d. h. je zwei Punkte von \(\varSigma _n\) können durch eine involutorische topologische Transformation des \(\varSigma _n\) in sich vertauscht werden). Bei geeigneter Metrisierung ist \(\varSigma _n\) involutorisch homogen sogar in bezug auf \textit{isometrische} Transformationen. Als topologische Produkte der Solenoide erhält man homogene Kontinua von beliebig hoher Dimension, die keine Mannigfaltigkeiten sind. Die Solenoide beanspruchen, auch abgesehen von der eingangs erwähnten Fragestellung, ein selbständiges Interesse, sowohl vom topologischen als vom gruppentheoretischen Standpunkt. Am einfachsten konstruiert man \(\varSigma _n\) mit Hilfe der \textit{Hensel}schen \(n\)-adischen ganzen Zahlen. \(\varSigma _n\) kann als die Menge aller Paare \((x, \xi )\) definiert werden, wo \(x\) alle ganzen \(n\)-adischen Zahlen, \(\xi \) alle reellen Zahlen durchläuft und die Paare \((x +1, \xi )\) und \((x, \xi + 1)\) gleichgesetzt werden. Somit kann \(\varSigma _n\) als eine \textit{abelsche Gruppe} aufgefaßt werden (die Gruppenoperation ist die Addition der Komponenten), woraus sich die involutorische Homogenität von \(\varSigma _n\) ohne weiteres ergibt. Verf. gibt auch eine rein geometrische Erzeugungsweise der Solenoide an. Das Kontinuum \(\varSigma _2\) wurde bereits von \textit{Vietoris} in anderem Zusammenhange konstruiert (vgl. Math. Ann. 97 (1927), 454-472; F. d. M. 53, 552 (JFM 53.0552.*)). Verf. untersucht noch stetige Abbildungen von \(\varSigma _n\) auf \(\varSigma _m\), und zeigt insbesondere, daß \(\varSigma _n\) dann und nur dann mit \(\varSigma _m\) homöomorph ist, wenn die Primfaktoren von \(n\) mit denen von \(m\) übereinstimmen. Die Untersuchung der topologischen Abbildungen von \(\varSigma _n\) auf sich selbst führt auf einen merkwürdigen Zusammenhang mit den \textit{Bohr}schen fastperiodischen Funktionen. Es sei noch erwähnt, daß es nicht bekannt ist, ob es \textit{lokal zusammenhängende} homogene Kontinua gibt, die keine Mannigfaltigkeiten sind. Das einzige Resultat in dieser Richtung ist der Satz von \textit{Mazurkiewicz} (Fundamenta 5 (1924), 137-146; F. d. M. 50, 140 (JFM 50.0140.*)), wonach unter den ebenen lokal zusammenhängenden Kurven der topologische Kreis das einzige homogene Kontinuum ist.