Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Flächenabbildungen. (Q1834109)

Unter der \textit{Bedeckungszahl} einer eindeutigen stetigen Abbildung \(f\) einer zusammenhängenden geschlossenen Fläche \(F\) auf eine andere Fläche \(G\) versteht man die kleinste Zahl \(n\) von der Eigenschaft, daß auf ein Teilgebiet von \(G\) genau \(n\) Gebiete von \(F\) (und sonst kein Punkt von \(F\)) eineindeutig abgebildet werden. Handelt es sich um orientierbare Flächen, so ist der absolute Betrag des \textit{Brouwer}schen Abbildungsgrades von \(f\) eine untere Schranke für die Bedeckungszahl, die, wie Verf. in seiner Arbeit über Glättung von Flächenabbildungen (1928; F. d. M. 54, 612 (JFM 54.0612.*)) gezeigt hat, innerhalb der Abbildungsklasse von \(f\) (in der der \textit{Brouwer}sche Abbildungsgrad invariant ist) stets erreicht wird. Für Mannigfaltigkeiten mit von zwei verschiedener Dimension ist \textit{H. Hopf} zu dem gleichen Ergebnis gelangt (Math. Ann. 102 (1929), 562-563; JFM 55.0965.*); zugleich konnte \textit{Hopf} durch Einführung einer neuen Invariante der Abbildungsklassen, des \textit{Absolutgrades}, auch eine innerhalb der Abbildungsklasse stets erreichbare untere Schranke für die Bedeckungszahl bei eindeutigen stetigen Abbildungen nicht orientierbarer Mannigfaltigkeiten angeben. Da \textit{Hopf} von stetigen Deformationen von Wegen unter Vermeidung eines Punktes Gebrauch macht, ist auch hier der zweidimensionale Fall seiner Beweisführung prinzipiell unzugänglich. Diesen Fall erledigt Verf. in der vorliegenden Arbeit mit den schon in der früheren Arbeit angewendeten kombinatorischen Methoden. Es wird bewiesen: In jeder Klasse von eindeutigen stetigen Abbildungen einer zusammenhängenden geschlossenen Fläche \(F\) auf eine Fläche \(G\) gibt es eine Abbildung, deren Bedeckungszahl gleich dem Absolutgrad der Abbildungsklasse ist. Darüber hinaus gelangt Verf. zu gewissen Normalformen von Abbildungen, die auch sonst von Nutzen sein dürften. Aus den Normalformen läßt sich, falls die kleinste Bedeckungszahl \(n\) innerhalb der Abbildungsklasse von Null verschieden ist, die Ungleichung \(K_F\leqq n\cdot K_G\) ablesen, in der \(K_F\) und \(K_G\) die \textit{Euler}schen Charakteristiken von F und G bedeuten.