Conferenze di geometria algebrica. (Q1834204)

Die Beziehungen zwischen der Topologie und der algebraischen Geometrie, die in neuerer Zeit schon mehrfach Beachtung gefunden haben (Lefschetz, L'analysis situs et la géométrie algébrique (1924; F. d. M. 50, 663 (JFM 50.0663.*)), Mémorial-Artikel (1929; JFM 55.0993.*) und Topology (1930; JFM 56.0491.*), letztes Kapitel; \textit{v. d. Waerden}, Math. Ann. 102 (1929), 337-362; JFM 55.0992.*), bilden auch den Gegenstand dieser Vorträge, die Verf. in den Jahren 1927-1928 und 1928-1929 an der Universität Rom gehalten hat, und die zum kleineren Teil von \textit{B. Segre}, zum größeren von Verf. selbst redigiert wurden. Etwa auf den ersten 80 Seiten des Buches (Kap. I-IX) gibt Verf. eine Entwicklung der Begriffsbildungen der algebraischen Geometrie; als Einführung für einen Anfänger ist diese Darstellung, die vielfach referierend oder nur mit kurzen Beweisandeutungen gehalten ist und dem Begrifflichen gegenüber die Einzelheiten zurücktreten läßt, andrerseits mit kritischen und historischen Literaturangaben nicht spart, jedenfalls nicht gedacht. Der Inhalt dieser Kapitel, der natürlich unter dem Gesichtspunkt der Eignung für die Anwendung topologischer Methoden abgegrenzt ist, läßt sich etwa mit folgenden Stichworten umreißen: Rationale und algebraische Kurven und Flächen, birationale Transformationen, Punktgruppen, Scharen von Punktgruppen und Linearsysteme, Untersuchung der Umgebung eines Punktes einer algebraischen Kurve bzw. Fläche vom birationalen und vom analytischen Standpunkt, Ordnung der projektiven Modelle algebraischer Gebilde, Konjugium und \textit{Riemann}sche Mannigfaltigkeit. Der zweite Teil (Kap. X-XXXI), der der Topologie gilt, und naturgemäß die Homologie- und Schnitteigenschaften besonders betont, ist wesentlich ausführlicher gehalten. In Kap. X-XV werden zunächst die Grundbegriffe der Topologie erörtert, wobei vom geometrischen Aufbau der Mannigfaltigkeit aus Zellen ausgegangen wird. Hervorzuheben sind die kritischen Betrachtungen über das Verhalten der Orientierungen im eindimensionalen Fall bei topologischer Abbildung, ferner über die verschiedenen Definitionen der Stetigkeit. Es folgen dann Betrachtungen über triangulierbare Mannigfaltigkeiten und deren Homöomorphie, über stetige Deformationen, Homotopie und Isotopie und schließlich insbesondere über ``homogene Mannigfaltigkeiten'' (d. h. Mannigfaltigkeiten im üblichen Sinne). Im Hinblick auf die Anwendungen werden gelegentlich die Mannigfaltigkeiten gewissen Zusatzbedingungen infinitesimalgeometrischer Natur unterworfen (vgl. z. B. die Arbeiten des Verf. über ``curve intuitive''; 1929, 1930; JFM 55.0366.*, 56\(_{\text{I}}\), 583), wobei dann auch die Klasse der topologischen Abbildungen entsprechend einzuschränken ist. Eine topologisch paradox erscheinende Eigenschaft einer algebraischen Hyperfläche, auf die an dieser Stelle eingegangen wird, ist inzwischen in zwei Noten von Verf. und \textit{B. Segre} (1929; JFM 55.1012.*-1013) gesondert behandelt worden. Die folgenden Kapitel XVI-XXXI enthalten im wesentlichen den klassischen Bestand der kombinatorischen Topologie, nämlich die Homologieeigenschaften der Komplexe und Mannigfaltigkeiten im nicht orientierten (mod 2) und im orientierten Falle. Die letzten drei Kapitel des Buches geben Anwendungen der Topologie auf die algebraische Geometrie. In Kap. XXXII (Prime proprietà topologiche delle varietà riemanniane) beschäftigt sich Verf. u. a. eingehend und kritisch mit einem von \textit{Lefschetz} entdeckten Satz über die Übereinstimmung der topologischen und algebraischen Schnittzahlen algebraischen Zyklen des \(R_4\). Nachdem dann im folgenden Kapitel (XXXII) kurz die Hauptergebnisse der algebraischen Geometrie auf einer algebraischen Fläche zusammengefaßt worden sind, gibt Verf. im Schlußkapitel (XXXIII) seine Theorie der Basis der Gesamtheit aller algebraischen Kurven auf einer algebraischen Fläche wieder, wobei im Beweis des Hauptsatzes durch die Gedankengänge von \textit{Lefschetz} und die Vereinfachungen von \textit{Albanese} der algebraisch-topologische Kern des Satzes hervortritt. (V 2.)