Invariants projectifs de quatres droites. Sous-groupe du groupe des homographies. (Q1834218)

Es ist bekannt: Sind \(T_i\)(\(i = 0, 1, 2, 3\)) \textit{vier gerade Linien}, so bestimmen ihre beiden \textit{gemeinsamen Sekanten} \((d)\) und \((D)\), die sich mit den \(T_i\) in den Punkten \(p_i\) bzw. \(Pi\) treffen mögen, im allgemeinen zwei \textit{Doppelverhältnisse} \[ \varrho = (p_0p_1p_2p_3), \qquad \varrho' = (P_0P_1P_2P_3), \] die \textit{projektive Invarianten} der \(T_i\) sind und sich aus einer quadratischen Gleichung berechnen lassen, deren Diskriminante \(R\) darüber entscheidet, ob \((d)\) und \((D)\) reell und verschieden \((R > 0)\), konjugiert-imaginär \((R < 0)\) sind, oder ob sie in eine einzige reelle Gerade zusammenfallen \((R = 0)\). Eine Vertauschung der \(T_i\) unter sich ergibt für \(\varrho\) und \(\varrho'\) \textit{sechs} Systeme von Werten. 1. Verf. untersucht zunächst den Übergang eines ersten Systems von Geraden \((T_i^0)\) in ein zweites \((T_i)\), die beide dieselben Invarianten haben, vermöge der Ausübung einer \textit{Kollineation} des Raumes. Dabei ergibt sich, daß \textit{zwei Bedingungen} (und nicht eine allein) erfüllt sein müssen, um diesen Übergang leisten zu können; beim Erfülltsein dieser Bedingungen gibt es dann im allgemeinen \(\infty^1\) Arten, nach denen der Übergang erfolgen kann, in gewissen Fällen \(\infty^2\) oder sogar \(\infty^3\), die im Einzelnen entwickelt werden, nachdem zuvor einige besondere lineare Kongruenzen und Komplexe studiert wurden. 2. Es werden dann \textit{Untergruppen} der Gruppe der Raumkollineationen untersucht, zu denen man gelangt, wenn man zwei kollinear sich entsprechende Räume zusammenfallen läßt. Dabei zeigt sich, daß es für vier Geraden \((T_i)\), die zwei gemeinsame verschiedene Sekanten \((d)\) und \((D)\) besitzen, folgende \textit{drei Untergruppen} gibt: a) eine endliche kontinuierliche Gruppe von Kollineationen, die jede Gerade erhalten; b) eine endliche kontinuierliche Gruppe von Kollineationen, die alle vier Geraden erhalten; c) sechs Involutionen, die alle vier Geraden erhalten, die Geraden aber \textit{paarig} vertauschen. Diese sechs Involutionen können in vier \textit{ternäre Gruppen} verteilt werden, deren jeder man die identische Transformation adjungieren muß. 3. Es werden sodann Ergebnisse von \textit{Study} (Nachrichten Göttingen 1912, 453-479; F. d. M. 43, 750 (JFM 43.0750.*)-751) im Zusammenhang dieser Arbeit neu hergeleitet. 4. Schließlich wird der Spezialfall, in dem die gemeinsamen Sekanten \((d)\) und \((D)\) der \(T_i\) zusammenfallen, und der Fall, wo die \(T_i\) \textit{Erzeugenden einer Quadrik} sind, behandelt. Im letzteren Fall zeigt sich, daß es \(\infty^3\) Kollineationen gibt, die jede Gerade in sich überführen, und auch \(\infty^3\) Kollineationen, die \(T\) mit \(T_1\), \(T_2\) mit \(T_3\) vertauschen. -- Es werden noch die reduzierten Gleichungen der Transformationen angegeben, die eine ternäre Gruppe bilden. 5. Zum Schluß werden besondere Eigenschaften der in diesem Zusammenhang auftretenden rationalen oder \textit{unikursalen Kurven} analytisch hergeleitet. Die Arbeit enthält sehr viele, z. T. sinnstörende Druckfehler.