Configurations remarquables de quatre tangentes à une même courbe gauche. (Q1834283)

Verf. leitet zunächst mit einigen Modifikationen das Ergebnis von \textit{A. Voß} (Math. Ann. 13 (1878), 168-174; F. d. M. 10, 529) her, wonach \textit{vier beliebige Geraden} \(T_i\) (\(i = 0,1,2,3\)) allgemeiner Lage im allgemeinen nicht Tangenten einer \textit{kubischen Raumkurve} sein können; werden drei Tangenten gegeben, so existieren \(\infty^3\) gewundene Kurven dritter Ordnung, deren Tangenten einen \textit{Komplex vierten Grades} bilden. Er knüpft dann an die Arbeiten von \textit{E. Mohrmann} (M. Z. 5 (1919), 268-283; F. d. M. 47, 615 (JFM 47.0615.*)) und \textit{M. Kluyver} (Verslag Amsterdam (3) 8 (1891), 346-380; F. d. M. 23, 849 (JFM 23.0849.*)) an. Es wird gezeigt, daß bei einer \textit{Raumkurve vierter Ordnung erster Art} (die 16 Punkte besitzt, in denen die Schmiegungsebene stationär ist [Wendeberührungspunkte]) a) 64 Kombinationen von je vier Tangenten existieren, deren Berührungspunkte in derselben \textit{Ebene} liegen, b) drei weitere Systeme von 64 Kombinationen von je vier Tangenten existieren, die diese Bedingung nicht erfüllen. Sie liefern alle je einen \textit{Komplex}. Die weitere Untersuchung bezieht sich auf \textit{unikursale} (rationale) \textit{Raumkurven m-ter Ordnung} \(V_m\) (\(W\)-Kurven), die nur vier Punkte mit stationärer Schmiegungsebene haben, wobei die \(m\) Schnittpunkte der \(V_m\) und dieser Schmiegungsebene im Berührungspunkt vereinigt liegen. Ist dann \(t\) der die Kurvenkoordinaten darstellende Parameter, so wird für \textit{jeden} Wert von \(m\) eine \(V_m\) bestimmt, \textit{die nur von einer einzigen projektiven Invariante \(\alpha\) abhängt}. Dabei zeigt sich: a) Sind die vier Punkte auf der reellen \(V_m\) reell, so gibt es zwei reelle Arten, die Gleichungen der \(V_m\) auf die \textit{reduzierte Form} mit der Fundamentalgleichung \[ t^4 - t^2-\alpha = 0 \] zu bringen; b) enthalten die vier Punkte ein reelles und ein imaginäres Paar oder sind es vier imaginäre Punkte, so gibt es immer noch \textit{eine reelle Reduktion} auf die Form \[ t^4 \pm t^2-\alpha = 0 \] für die Fundamentalgleichung; c) ersetzt man \(t\) durch \(-t\), so bewirkt dies eine einfache \textit{kollineare Transformation der Kurve in sich}, die zu je zweien die vier Tangenten (und ihre Berührungspunkte) vertauscht. Solcher Transformationen gibt es drei, die alle drei reell sind, wenn dio vier Tangenten reell sind. Es werden dann \textit{Komplexe} betrachtet, die mit verschiedenen Kurven \(V_m\) (je nachdem ihr Grad \textit{gerade} \([V_{2m}]\) oder \textit{ungerade} \([V_{2m+1}]\) ist) verknüpft sind, wobei Verf. die in Annales Soc. Polonaise 8, 10-34 (JFM 56.1157.*) gefundenen Ergebnisse benützt. Unter anderem wird bewiesen, daß \textit{die Kurve} \(\varGamma\), das Bild des Komplexes, dem die vierte Tangente angehört, \textit{unikursal} ist. Es folgen \textit{Beispiele} von Kurven \(V_m\) für die Werte \(m = 4, 5, 6, 7\), die ausführlich diskutiert werden, und im Anschluß hieran werden Ergebnisse \textit{für beliebiges} \(m\) zusammengestellt. -Endlich gibt Verf. weitere Beispiele von Kurven mit Konfigurationen von vier Tangenten, insbesondere \(W\)-\textit{Kurven}, an. Die Arbeit weist eine Reihe sinnstörender Druckfehler auf.