Sur l'existence de diverses classes d'ensembles. (Q1834714)

Zunächst untersucht Verf. Eigenschaften von ``universellen Mengen''; ist eine Klasse von linearen Mengen gegeben, so heißt nach \textit{Lusin} eine Menge \(U\) ``eine ebene universelle Menge der Klasse \(\mathfrak K\)'', wenn man alle linearen Mengen der Klasse \(\mathfrak K\) durch Schneiden der Menge \(U\) mit den Geraden \(\varphi =\) const. erhält. Unter den zusätzlichen Voraussetzungen, daß (1) der Schnitt jeder Geraden mit der Menge \(U\) zu \(\mathfrak K\) gehört, (2) mit einer linearen Menge auch jede zu ihr (geometrisch) ähnliche Menge zu \(\mathfrak K\) gehört, beweist Verf., daß die Komplementärmenge einer linearen \(\mathfrak K\)-Menge auf einer Geraden keine \(\mathfrak K\)-Menge ist. Verf. konstruiert eine universelle Menge für die Klasse der linearen und ebenen Mengen, die Summen von \(n\) (\(n\) fest) \(F_\varrho\)-Mengen sind (\(F_\varrho=\) Differenz zweier abgeschlossener Mengen), und beweist dann, daß es Mengen gibt, die Summe von \(n\), aber nicht von weniger als \(n\) \(F_\varrho\)-Mengen sind. Ferner werden universelle Mengen für die Klassen \(F_\varrho\), \(F_{\varrho\varrho}\), \(F_{\varrho\varrho\varrho}\) usw. (Iteration der Differenzbildung) konstruiert, und es wird gezeigt, daß jede Klasse umfassender ist als die vorhergehende. Ähnliche Sätze werden auch für Mengen \(F_\sigma\), \(F_{\sigma\delta}\), \(F_{\sigma\delta\sigma},\ldots\), und \(G_\delta\), \(G_{\delta\sigma}\), \(G_{\delta\sigma\delta},\ldots\) teils formuliert, teils mit Beweis ausgeführt. Auch für \(A\)-Mengen und die daraus durch wiederholte Summen-, Durchschnitts- und Differenzenbildung entstehenden Mengen werden Resultate angegeben.