Sur la représentation paramétrique semi-régulière des ensembles. (Q1834715)

Verf. bezeichnet eine Parameterdarstellung \[ x_i=f_i(t),\qquad 0<t<1 \qquad (i=1,2,\ldots,m) \] einer Punktmenge \(E\) im \(m\)-dimensionalen Raum als \textit{semiregulär}, wenn jedem Punkt von E eine höchstens abzählbare Menge von \(t\)-Werten entspricht. Sind dabei die \(f_i(t)\) Funktionen der \textit{Baire}schen Klassen, so ist \(E\) meßbar \((\)B). Als Folgerung ergibt sich, daß die orthogonale Projektion \(E\) einer Menge \(\mathfrak E\) des \(n\)-dimensionalen Raumes auf einen \(m\)-dimensionalen Raum (\(n>m\)) jedenfalls dann meßbar \((B)\) ist, wenn über jedem Punkt von E höchstens abzählbar viele Punkte von \(\mathfrak E\) liegen. \(f(t)\) sei eine in jedem irrationalen Punkt von \(0<t<1\) stetige Funktion und \(F_\xi\) die Menge der Punkte, für die \(f(t) = \xi\) ist. Als Index \(\alpha_\xi\) (indice d'arrêt) des Punktes \(\xi\) wird dann die kleinste (eventuell transfinite) Zahl \(\alpha\) von der Eigenschaft definiert, daß die Ableitung \((\alpha+1)\)-ter Ordnung von \(F_\xi\) mit der Ableitung \(\alpha\)-ter Ordnung übereinstimmt. Für semireguläres \(f(t)\) sind die Indices \(\alpha_\xi\) beschränkt. Jede Kurve \(x=f(t)\), die durch eine semireguläre Funktion \(f(t)\) dargestellt wird, ist die Vereinigungsmenge von abzählbar vielen paarweise fremden Mengen, die meßbar \((B)\) sind, und von denen jede von jeder Parallelen zur \(t\)-Achse in höchstens einem Punkt geschnitten wird. Weitere Anwendungen dieses Satzes beziehen sich auf die Projektion einer meßbaren Menge auf einen Raum niederer Dimension.