Sur une généralisation du problème de la mesure. (Q1834723)

Der Beweis des Satzes: ``Es gibt keine Funktion \(m(X)\), die jeder Teilmenge \(X\) eines Intervalls \(E\) eine reelle Zahl \(m(X)\) zuordnet, so daß 1. für einen Punkt \(X\) \(m(X) = 0\) wird, 2. \(m(X)\) vollständig additiv ist, 3. \(m(X)\) nicht identisch Null ist'' \noindent wird zurückgeführt auf den folgenden Satz: Es gibt eine Doppelfolge von Mengen \(A_k^i\) so, daß \[ \displaylines{\rlap{\hskip\parindent 1.} \hfill E=\sum_{\varkappa=1}^{\infty}A_\varkappa^i \;\text{für} \;i=1,2,\ldots,\hfill} \] 2. für festes \(i\) die Mengen \(A_\varkappa^i\) (\(\varkappa=1, 2,\ldots\)) getrennt sind, 3. für jede Folge von positiven ganzen Zahlen \(k_1,k_2,\ldots\) der Durchschnitt \[ \prod_{i=1}^{\infty} \left(A_1^i+A_2^i+\cdots+A_{k_i}^i\right) \] höchstens abzählbar ist. Der Beweis dieses Satzes gelingt unter Benutzung der Kontinuumshypothese.