Finite groups in which conjugate operations are commutative. (Q1834855)

\textit{Burnside} (Proceedings L. M. S. 35 (1903), 28-37; F. d. M. 34, 154 (JFM 34.0154.*)) hat bewiesen, daß eine endliche Gruppe \(\mathfrak G\), in der je zwei konjugierte Elemente vertauschbar sind, das direkte Produkt ihrer \textit{Sylow}-Gruppen, und wenn keine \textit{Sylow}-Gruppe von der Ordnung \(3^m\) ist, höchstens von der Klasse 2 ist. Dabei heißt eine Gruppe \(\mathfrak G\) von der endlichen Klasse \(k\), wenn in der Reihe \(\mathfrak G\), \(\mathfrak G'\), \(\mathfrak G''\),\dots erstmalig \(\mathfrak G^{(k)}=E\) wird, wo \(\mathfrak G'\) die Gruppe der inneren Automorphismen von \(\mathfrak G\), \(\mathfrak G''\) die Gruppe der inneren Automorphismen von \(\mathfrak G'\), usw. bedeutet. Später gab \textit{Fite} (Math. Ann. 67 (1909), 498-510; F. d. M. 40, 187) an, daß die Klasse einer endlichen Gruppe mit vertauschbaren konjugierten Elementen 5 nicht übersteigen kann. \textit{Hopkins} zeigt nun, daß die Klasse einer endlichen Gruppe, in der je zwei konjugierte Elemente vertauschbar sind, höchsten 3 sein kann, und gibt eine allgemeine Methode zur Konstruktion solcher Gruppen der Klasse 3 mit drei unabhängigen erzeugenden Elementen an.