Number of Abelian subgroups in every prime power group. (Q1834856)

Ist \(p\) eine Primzahl, so gilt der Satz (\textit{Miller, Blichfeldt, Dickson}: Theory and application of finite groups (1916), S. 126; F. d. M. 46, 171 (JFM 46.0171.*)-172): ``Enthält eine Gruppe der Ordnung \(p^m\) eine \textit{Abel}sche Untergruppe der Ordnung \(p^3\), so ist die Anzahl der \textit{Abel}schen Untergruppen der Ordnung \(p^3\) von der Form \(1+kp\).'' Es wird gezeigt, daß derselbe Satz auch für die \(Abel\)schen Untergruppen der Ordnung \(p^4\) gültig ist. Allgemein läßt sich zu jedem \(\alpha\) ein \(m\) angeben, so daß in jeder Gruppe, deren Ordnung durch \(p^m\) teilbar ist, die Anzahl der \textit{Abel}schen Untergruppen der Ordnung \(p^\alpha\) von der Form \(1+kp\) ist. Das beruht auf dem Satz: ``Wenn die Ordnung einer Gruppe durch \(p^{\frac{\alpha(\alpha-1)}2+1}\) teilbar ist, dann ist die Anzahl der \(Abel\)schen Untergruppen der Ordnung \(p^{\alpha}\) von der Form \(1 + kp\).'' Ferner werden die \textit{Abel}schen Untergruppen vom Index \(p^2\) einer Gruppe der Ordnung \(p^m\) untersucht und die Sätze bewiesen: Für jeden Wert von \(p\) und von \(m>7\) läßt sich eine Gruppe der Ordnung \(p^m\) angeben, die genau zwei \textit{Abel}sche Untergruppen vom Index \(p^2\) besitzt. Für \(m\leqq7\) hingegen ist die Anzahl der \textit{Abel}schen Untergruppen vom Index \(p^2\), wenn es solche gibt, von der Form \(1+kp\). Enthält eine Gruppe der Ordnung \(p^m\) eine \textit{Abel}sche Untergruppe vom Index \(p^2\), so enthält sie auch eine invariante \textit{Abel}sche Untergruppe von diesem Index.