Zur Einführung des Scharbegriffs. (Q1834866)

Verf. behandelt folgende Frage: Gegeben sei eine Gruppe \(\mathfrak G\) und eine Gruppe eineindeutiger Abbildungen \(A\) von \(\mathfrak G\) auf sich: was bleibt in \(\mathfrak G\) gegenüber \(A\) invariant? Als \(A\) kann man etwa zu Grunde legen die Gruppe der \textit{Rechtsähnlichkeiten} (\(\mathfrak x\to\mathfrak x\mathfrak a\)) oder die der \textit{Linksähnlichkeiten} (\(\mathfrak x\to\mathfrak a\mathfrak x\)) oder die der \textit{Ähnlichkeiten} schlechthin (\(\mathfrak x\to\mathfrak a\mathfrak x\mathfrak b\)) oder die der \textit{Automorphismen} von \(\mathfrak G\). Wird ein unverkürzbarer Ausdruck \(J(\{\mathfrak x_i\})\) in dem System \(\{\mathfrak x_i\}\) von Unbestimmten (d. h. Elementen, die eine freie Gruppe erzeugen) bei der Anwendung von \(\alpha(\mathfrak x)\subset\mathbf A\) nach dem Gesetz \[ J[\{\alpha(\mathfrak x_i)\}]=\alpha[J(\{\mathfrak x_i\})] \] transformiert, so heißt er ``durch \(\mathbf A\) isomorph abgebildet''. Ein System \(S\) von unverkürzbaren Ausdrücken in Unbestimmten heißt \textit{vollständiges Invariantensystem} von \(A\), wenn jeder Ausdruck aus \(S\) durch \(A\) isomorph abgebildet wird und jeder durch \(\mathbf A\) isomorph abgebildete Ausdruck in Unbestimmten sich mittels Ausdrücken aus \(S\) rational unter Benutzung des Einsetzens aufbauen läßt. Zugrunde gelegt wird dabei stets eine ``allgemeine'' Gruppe \(A\), d. h. eine solche, die für alle \(G\) erklärt ist. Verf. beweist den folgenden Satz: \(F(\mathfrak x_1,\mathfrak x_2,\mathfrak x_3)=\mathfrak x_1\mathfrak x_2^{-1}\mathfrak x_3\) ist ein vollständiges Invariantensystem der allgemeinen Gruppe der Ähnlichkeiten. Für die Gruppe der Rechts- bzw. Linksähnlichkeiten spielt der Scharbegriff [\textit{H. Prüfer}, Math. Z. 20, 165--187 (1924; JFM 51.0114.01)] eine wichtige Rolle: \(\mathfrak S\subset\mathfrak G\) heißt eine \textit{Schar}, wenn aus \(\mathfrak a_i<\mathfrak S\) (\(i = 1\), 2, 3) folgt \(\mathfrak a_1\mathfrak a_2^{-1}\mathfrak a_3\subset\mathfrak S\). Die Schar läßt sich auch charakterisieren als Teilmenge von \(\mathfrak G\), die bei allen Rechts und ebenso bei allen Linksähnlichkeiten von \(\mathfrak G\) in sich oder eine fremde Menge übergeht. Eine Schar \(\mathfrak S_1\) heißt \textit{Nebenschar} bzw. \textit{Rechts}-, bzw. \textit{Linksnebenschar} einer Schar \(\mathfrak S_2\), wenn \(\mathfrak S_1\) in \(\mathfrak S_2\) übergeht durch eine Ähnlichkeit bzw. Rechts-, bzw. Linksähnlichkeit. Die Schar läßt sich nun weiter charakterisieren als Rechts- bzw. Linksnebenschar einer Untergruppe von \(\mathfrak G\). Eine Schar heißt \textit{normal}, wenn sie bei allen Ähnlichkeiten von \(\mathfrak G\) in sich oder eine fremde Menge übergeht. Die normale Schar läßt sich charakterisieren als Nebenschar eines Normalteilers. Die Gesamtheit der Nebenscharen, bzw. Rechtsnebenscharen einer Schar \(\mathfrak S\) bildet ein Gruppoid [\textit{H. Brandt}, Math. Ann. 96, 360--366 (1926; JFM 52.0110.09)] bzw. eine Mischgruppe [\textit{A. Loewy}, J. Reine Angew. Math. 157, 239--254 (1927; JFM 53.0112.02)], die dann und nur dann eine Gruppe sind, wenn \(\mathfrak S\) normal ist. Das Produkt zweier Scharen soll als definiert gelten, wenn die Produkte der zugehörigen Elemente eindeutig eine sie enthaltende Schar bestimmen. Weitere Sätze behandeln die Zusammenhänge der Gruppen der Ähnlichkeiten, Rechts- und Linksähnlichkeiten mit der Gruppe der Automorphismen und der der inneren Automorphismen. Ein Anhang untersucht Scharen in Körpern.