Über diophantische Gleichungen mit endlich vielen Lösungen. (Q1834910)

Es werden hinreichende Bedingungen dafür entwickelt, daß eine binäre diophantische Gleichung mit algebraischen Koeffizienten nur endlich viele Lösungen besitzt. Die Resultate gehen auf folgenden Tatbestand zurück: Ist in der Potenzreihenentwicklung \[ y=a_0x^{\tfrac pq}+\sum\limits_{n=r}^{\infty}a_nx^{\tfrac{p-n}q} \] einer nicht-rationalen Funktion \(y\) von \(x^{\tfrac 1q}\) der erste Koeffizient \(a_0\) algebraisch und \(r\) (d. h. die Lücke hinter dem ersten Glied) hinreichend groß, so wird für höchstens endlich viele ganz-rationale \(x\) auch \(y\) ganz-rational. Die Beweise beruhen auf Sätzen über die Approximation von algebraischen Zahlen durch algebraische Zahlen, insbesondere auf dem folgenden: Ist \(\alpha\) eine algebraische Zahl \(n\)-ten Grades in bezug auf den Körper P der rationalen Zahlen und \(l\) eine positive ganz-rationale Zahl, so läßt sich eine nur von \(\alpha\) und \(l\) abhängige Konstante \(C\) angeben, derart, daß für alle algebraischen Zahlen \(\xi\neq\alpha\) vom Grade \(l\) die Ungleichung gilt: \[ |\alpha-\xi|>\frac C{H(\xi)^m}, \] wenn \(m\) den Relativgrad von \(\alpha\) in bezug auf \(P(\xi)\) und \(H(\xi)\) die Höhe von \(\xi\) bezeichnet. (III 7, III 8.)