On the representation of a number as a sum of squares and primes. (Q1834991)

Den Gegenstand der Untersuchung bildet die Anzahl \( N_{r, s} (n)\) der Darstellungen der positiven ganzen Zahl \(n\) als Summe von \(r\) Quadraten ganzer Zahlen und \(s\) Primzahlen. Im Anschluß an Hardy-Littlewoodsche Untersuchungen zum Goldbachschen Problemkreis [``Some problems of partitro numerorum III'' und ``V''; Acta Math. 44, 1--70 (1923; JFM 48.0143.04); Proc. Lond. Math. Soc. (2) 22, 46--56 (1923; JFM 49.0127.03)] gelangt Verf. unter Annahme der Riemannschen Vermutung für alle Dirichletschen \(L\)-Reihen zu folgenden Resultaten: 1. Für \(s \ge 3;\quad s = 2, \quad r \ge 3; \quad s = 1, \quad r \ge 4 \) ist \[ \sum_{x_1^2+\cdots +x_r^2+p_1+\cdots +p_s=n} \log p_1\log p_2\cdots \log p_s\sim \dfrac{\pi^{\tfrac{r}{2}}}{\varGamma \bigl(\tfrac{r}{2}+s\bigr)} \cdot n^{\tfrac{r}{2}+s-1}\mathfrak S (n), \] wo \(\mathfrak S(n)\) die Hardy-Littlewoodsche ``singular series'' \[ \sum _{q=1}^\infty \biggl(\dfrac{\mu(q)}{\varphi(q)}\biggr)^s\cdot \sum_{p\bmod q} \biggl(\dfrac{S_{p,q}}{q}\biggr)^r e^{2\pi i n \tfrac{p}{q}} \] bezeichnet. 2. Verf. beweist unter Annahme der Riemannschen Vermutung einige ähnliche Abschätzungen in Spezialfällen für \(r\) und \(s\), aus denen vermittelst der Theorie der Reihe \(\mathfrak S(n)\) asymptotische Formeln für \(N_{r, s} (n)\) folgen, die u. a. folgende Sätze liefern: Alle genügend großen Zahlen sind als Summe von zwei Primzahlen und zwei Quadraten, ferner als Summe von einer Primzahl und drei Quadraten und als Summe von einem Quadrat und zwei Primzahlen darstellbar. Ferner ergibt sich unter Annahme der Riemannschen Vermutung, daß die Anzahl der ganzen Zahlen unterhalb der Schranke \(m\), die nicht als Summe zweier Quadrate und einer Primzahl darstellbar sind, in der Form \(O(m^{\frac12+\varepsilon})\) bei beliebigem positivem \(\varepsilon\) abgeschätzt werden kann.