Zur Transzendenz von \(e\). (Q1835008)

Verf. geht aus von folgender Fragestellung: Welche genaue Gestalt haben die (offenbar existierenden) positiven Funktionen \(\eta_1\) und \(\eta_2\) der positiven ganzen Zahlen \(n\) und \(H\) mit folgenden Eigenschaften: 1. Für jede algebraische Irrationalität \(\vartheta\) vom Grade \(n\), mit der Höhe \(H\) (Höhe der irreduziblen Gleichung für \(\vartheta\)) ist \[ | e - \vartheta | > \eta_1. \] 2. Für jedes Polynom \(P(x)\) vom Grade \(n\) und der Höhe \(H\) mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten ist \[ |P(e)|>\eta_2. \] Verf. gelangt zu folgenden Resultaten: 1. Es gibt eine nur von der positiven ganzen Zahl \(n\) abhängende Zahl \(\lambda_1\), so daß für jedes Polynom \(P\) mit ganzen rationalen, nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten vom Grade \(n\) und der Höhe \(H\ge 3\) \[ |P(e)|>H^{-n-\tfrac{\lambda_1}{\log \log H}} \] gilt. 2. Zu jedem ganzen \(n > 0\) existiert ein \(C\), so daß zu jedem ganzen \(H > 0\) ein Polynom \(P (x)\) vom Grade \(n\) mit der Höhe \(H\) existiert mit \[ |P(e)|<G\cdot H^{-n}. \] 3. Es gibt ein nur von der positiven ganzen Zahl \(n\) abhängendes \(\lambda_2\), so daß für jede algebraische Irrationalität \(\vartheta\) vom Grade \(n\) und der Höhe \(H \ge 3\) \[ |e-\vartheta |>H^{-n-1-\tfrac{\lambda_2}{\log\log H}} \] gilt. Aus 1. läßt sich u. a. eine Verschärfung eines Borelschen Resultats [\textit{E. Borel}, Sur la nature arithmétique du nombre \(e\), C. R. 128, 596--599 (1899; JFM 30.0384.03)] herleiten.