An application of Abel's Lemma to double series. (Q1835034)

Die \(b_{mn}(m, n = 1, 2, \ldots )\) seien positive Zahlen und für jedes \(m\) sei \(b_{mn}\geqq b_{m, n+1}\). Die \(a_{mn}\) mögen für alle \(m, n\) der Bedingung \(|a_{m1} + a_{m2} + \ldots + a_{m_n} | < K \) genügen. \(S_{mn}\) bezeichne die Summe der \(n\) ersten Glieder in den \(m\) ersten Zeilen von \[ \begin{aligned} & a_{11}b_{11}, \;\;a_{12}b_{12}, \ldots \;\;\;a_{1n} b_{1n}, \ldots\\ & a_{21}b_{21}, \;\;\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots \ldots \\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots \ldots\\ & a_{m1}b_{m1}, \;\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots \ldots \\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots \ldots\\ \end{aligned} \] Verf. beweist folgende Sätze: (1) Wenn \(\sum\limits_{m=1}^\infty b_{m1}\) konvergiert und \(\lim\limits_{n\to \infty} b_{mn} =0\) für alle \(m\), so konvergiert die Doppelfolge \(S_{mn}\). (2) Wenn \(\sum\limits _{m=1}^\infty b_{m1}\) konvergiert und \(\lim\limits_{m\to\infty} S_{mn} =S\) für alle \(n\) ist, so konvergiert die Doppelfolge \(S_{mn}\) und hat den Grenzwert \(S\). (3) Wenn \(\lim\limits_{n\to \infty} S_{mn} = S\) für alle \(m\), wenn ferner \(\sum\limits _{m=1}^\infty b_{mn}\) für alle genügend großen Werte von \(n\) konvergiert und der Wert dieser Summen mit wachsendem \(n\) gegen Null strebt, so konvergiert die Doppelfolge \(S_{mn}\) gegen \(S\). In einem Nachtrag gibt Verf. ohne Beweis an, daß die vorstehenden Resultate Spezialfälle zweier allgemeiner Sätze von ähnlicher Art sind.