Remarks in addition to Dr. Widder's note on inequalities. (Q1835077)

Verf. beweist die von \textit{D. V. Widder} [J. Lond. Math. Soc. 4, 194--198 (19 29; JFM 55.0137.02)] bewiesenen Ungleichungen (vgl. das vorhergehende Referat) und eine weitere Ungleichung \[ \sum^N_{_{\substack{ 0\\ m,n,p,q}}} \dfrac{a_ma_na_pa_q}{m+n+p+q+3} \leqq \biggl\{ \varGamma\biggl(\dfrac14\biggr)\biggr\}^4 \cdot \sum^N_{_{\substack{ 0\\ m,n,p,q}}} \frac{(m+n+p+q+2)!}{m!\,n!\,p!\,q!} \cdot \frac{a_ma_na_pa_q}{4^{m+n+p+q+3}} \] ohne Benutzung von analytischen Funktionen im Komplexen. Die Beweise beruhen auf folgenden Sätzen: Wenn \(a_n \ge 0\) und \[ A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n, \quad A^*(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_nz^n}{n!} \] ist, so gilt \[ \int_0^1\{A(z)\}^2 \,dz \le \pi\int_0^\infty \{e^{-z} A^*(z)\}^2 \,dz; \] dabei ist \(\pi\) die beste Konstante, und das Gleichheitszeichen tritt nur dann ein, wenn alle \(a_n\) Null sind. (Hieraus folgt die \textit{Widder}sche Ungleichung.) Unter denselben Voraussetzungen gilt für \(p > 1\) \[ \int_0^1 z^{p-2}\{A(z)\}^p \,dz \le \bigg\{\varGamma\bigg(\dfrac1p\bigg)\bigg\}^p \int_0^\infty z^{p-2}\{e^{-z}A^*(z)\}^p \,dz. \] (Daraus ergibt sich die angegebene Verallgemeinerung der Widderschen Ungleichung.) Die Hardysche Ungleichung (s. \textit{Widder}, loc. cit.) ist eine Folgerung aus dem Satz: Sei \(K_0(x) \ge 0\) und \[ K_1(x,y) = \int_0^\infty K_0(xt)K_0(yt) \,dt, \] \[ K_2(x,y) = \int_0^\infty K_1(x, t)K_1(y, t) \,dt; \] dann ist \[ \sum_{m,n=1}^\infty K_2(m,n)a_ma_n < \int\limits_0^\infty \dfrac{K_1(w,1)}{\sqrt{w}} \,dw \cdot \sum_{m,n=1}^\infty K_1(m,n)a_ma_n. \] (IV 7.)