Sur les fonctions absolument monotones. (Q1835104)

Unter einer vollständig monotonen Funktion (fonction absolument monotone) im Intervall \((a, b)\) versteht Verf. eine Funktion \(f(x)\), für welche alle Differenzen \[ \varDelta^0f(x) = f(x), \varDelta^1f(x)=f(x+h)-f(x), \varDelta^2f(x)=f(x+2h)-2f(x+h)=f(x), \ldots \] nicht negativ sind, wenn \(h \geqq 0\), vorausgesetzt, daß alle Argumentwerte, die in diesen Ausdrücken vorkommen, dem Intervall \((a, b)\) angehören. Eine vollständig monotone Funktion in \((a, b)\) ist analytisch auf \((a, b)\) und dort durch eine \textit{Taylor}sche Reihe \(\sum\limits _0^\infty A_n (x - a)^n\) darstellbar, mit \(A_n \geqq 0\). Jede im Intervall \((a, b)\) reelle analytische Funktion, die durch eine \textit{Taylor}sche Reihe \(\sum\limits_0^\infty a_n (x - a)^n\) vom Konvergenzradius \(\geqq b-a\) darstellbar ist, läßt sich als Differenz zweier in \((a, b)\) vollständig monotoner Funktionen ausdrücken. Deshalb spielen die vollständig monotonen Funktionen dieselbe fundamentale Rolle in der Theorie der reellen analytischen Funktionen einer reellen Variabeln wie die einfach monotonen in der Theorie der Funktionen beschränkter Schwankung. Ist \(f(x) = \sum\limits _0^\infty A_nx^n\) im Intervall \((0, R)\) vollständig monoton, und ist \(R'\) der Konvergenzradius der Reihe, so ist \(R \leqq R'\) und \(f\) ist noch in \((0, R')\) vollständig monoton. Es fragt sich: Unter welchen Bedingungen bleibt die Funktion im Intervall \((-c, R')\), \(c > 0\), vollständig monoton. Verf. gibt notwendige Bedingungen dafür an. Sie sind einfacher abzuleiten, wenn \(c = -\infty\). Ist \(c\) endlich, so treten Besonderheiten arithmetischer Natur auf. Verf. gibt insbesondere Ungleichungen für die Funktionen, die in \((-c, R')\) oder in \((-\infty, R')\) vollständig monoton sind. Er behandelt hauptsächlich das Problem der Bestimmung des größten Intervalles vollständiger Monotonie einer Funktion, deren endlich oder unendlich viele Ableitungen in einem Punkt gegeben sind, und die Frage der eindeutigen Bestimmung dieser Funktion. Diese Untersuchung ist mit der Theorie der divergenten Reihen eng verknüpft und gestattet, das von \textit{Hamburger} und \textit{Carleman} gelöste Momentenproblem unabhängig von der Kettenbruchtheorie zu behandeln, wie am Schluß der Abhandlung gezeigt wird.