Sur un problème de M. Steinhaus. (Q1835130)

Verf. beweist folgende Vermutung von \textit{H. Steinhaus} (Fundamenta 6, 308, problème 45): \(E_n\) sei eine Folge von Teilmengen des Intervalls \((0,1)\), die im \textit{Lebesgue}schen Sinne meßbar sind. Es sei \[ \varphi_n(t) = \biggl\{\begin{matrix} +1 \;\;\text{für} \;\;t\subset E_n\\ 11 \;\;\text{für} \;\;t\not\subset E_n \end{matrix} \biggr\} \] Dann gibt es eine Folge von positiven ganzen Zahlen \(u_i\), so daß fast überall in \((0,1)\) \[ \limsup_{k\to\infty}\big|\sum_{i=1}^k \varphi_{u_i}(t)\big| = \infty \] ist.