Sur les maximums et minimums relatifs des fonctions de variables réelles. (Q1835136)

\(f(P)\) sei eine reelle, auf einer Menge \(\varPi\) des \(n\)-dimensionalen Raumes eindeutige Funktion; \(\varPhi(P)\) und \(\varphi(P)\) seien die Funktionen, die aus \(f(P)\) entstehen, wenn man \(f(P)\) durch einen festen Wert \(t\) nach oben bzw. unten beschränkt. Ferner sei \[ l(P) = \varliminf_{P'\to P} \varPhi(P'), \] \[ L(P) = \varlimsup_{P'\to P} \varphi(P'). \] Sind ferner \(A\) und \(B\) zwei Klassen von Teilmengen von \(\varPi\) von der Eigenschaft, daß (1) jede Teilmenge von \(\varPi\) einer der beiden Klassen angehört, (2) jede Teilmenge einer \(A\)-Menge wieder eine \(A\)-Menge ist, (3) die Vereinigungsmenge endlich oder abzählbar vieler Mengen der Klasse \(A\) wieder zu \(A\) gehört und (4) \(\varPi\) zur Klasse \(B\) gehört, so sollen \(l_A(P)\) und \(L_A(P)\) die analoge Bedeutung haben wie oben, wobei aber bei Bildung des \(\varliminf\) bzw. \(\varlimsup\) \(A\)-Mengen vernachlässigt werden. Dann gilt \(f(P) \geqq l_A(P)\) oder \(f(P) \leqq L_A(P)\) in \(\varPi\) bis auf eine Menge der Klasse \(A\). Für jedes \(P\) von \(\varPi\) bis auf eine Ausnahmemenge, die zur Klasse \(A\) gehört, gibt es eine von \(P\) abhängige Menge der Klasse \(B\), auf der \(\lim\limits_{P'\to P}f(P')\) existiert und gleich \(f(P)\) ist.