Über die gleichmäßige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblem. (Q1835167)

Verf. hat in einer früheren Arbeit (Japanese Journ. of Math. 5 (1928), 97-125; F. d. M. 54, 284 (JFM 54.0284.*)-285) den Begriff der gleichmäßigen Summierbarkeit einer Funktionenmenge eingeführt: Diese Eigenschaft kommt auf einer meßbaren Menge \(M\) des Intervalls \(\langle a, b\rangle \) einer Menge \(F\) von auf \(M\) meßbaren Funktionen \(f(x)\) zu, wenn sich zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) so angeben läßt, daß die Ungleichung \[ |\,\textstyle\int\limits_{E}\displaystyle f(x)\,dx\,|<\varepsilon \] für alle Funktionen von \(F\) und jede meßbare Teilmenge \(E\) von \(M\) mit einem Maß \(<\delta_\varepsilon\) erfüllt ist. Verf. beweist den folgenden Satz: Läßt sich zu einer für alle \(u\geqq 0\) stetigen, nicht negativen, monoton wachsenden Funktion \(\varPhi(u)\), welche der Bedingung \[ \lim_{n\to\infty }\frac{\varPhi(u)}{u}=+\infty \] genügt, eine Funktionenmenge \(F\) so angeben, daß für jede Funktion \(f(x)\) von \(F\) und eine von \(f(x)\) unabhängige Konstante \(C\) die Ungleichung \[ \textstyle\int\limits_M\displaystyle\varPhi(|\,F(x)\,|) \,dx\leqq C \] besteht, dann ist \(F\) auf \(M\) gleichmäßig summierbar und umgekehrt. Dieser und ein verwandter Satz werden vom Verf. zum Beweis eines Existenzsatzes der Variationsrechnung angewendet, der eine Verallgemeinerung eines \textit{Tonelli}schen Existenzsatzes aus der Variationsrechnung (vgl. \textit{Tonelli}, Fondamenti di calcolo delle variazioni II (1924), p. 282; vgl. F. d. M. 50, 340 (JFM 50.0340.*)) darstellt.