A point in the theory of conjugate functions. (Q1835188)

Es sei (ohne konstantes Glied) \[ f(x)\sim{ \sum}\,(a_n\,\cos nx+b_n\,\sin nx) \] und \[ g(x)\sim{ \sum}\,(-b_n\,\cos nx+a_n\,\sin nx) \] eine dazu konjugierte Funktion. Dann ist, wenn unter den Integralen der \textit{Cauchy}sche Hauptwert verstanden wird, unter gewissen Bedingungen \[ \begin{alignedat}{2} &\qquad(\text{a}) &-g(x)=&\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\pi }^{+\pi } \text{ctg}\,\tfrac{1}{2}\,(t-x)\;f(t)\,dt,\\ &\qquad(\text{b}) &f(x)=&\frac{1}{2\pi }\int\limits_{-\pi }^{+\pi } \text{ctg}\,\tfrac{1}{2}\,(t-x)\,g(t)\,dt\\ \text{und also} &\qquad(\text{c}) &f(x)=&-\frac{1}{4\pi ^2}\int\limits_{-\pi }^{+\pi } \text{ctg}\,\tfrac{1}{2}\,(t-x)\,dt\, \int\limits_{-\pi }^{+\pi }\text{ctg}\,\tfrac{1}{2}\,(u-t)\,f(u)\,du.\qquad\quad \end{alignedat} \] Für die Gültigkeit dieser letzten Formel, die in einer gewissen Analogie zur \textit{Fourier}schen Integralformel steht, gibt es bisher kein Kriterium, das sich allein auf das Verhalten von \(f(x)\) und nicht zugleich auf dasjenige von \(g(t)\) stützt. Hier wird zum ersten Male ein solches gegeben: Für die Gültigkeit von (\(c\)) ist es hinreichend, daß \(f(t)\) für \(t = x\) stetig ist und daß es zur Klasse \(L^p\) gehört.