Notes on some points in the integral calculus. LXIX. (Q1835196)

Verf. beweist folgende Sätze: I. \(\varphi(\vartheta)\) sei periodisch und integrierbar; es sei \[ \varphi(\vartheta)\sim\frac{a_0}{2}+\textstyle\sum\, \displaystyle(a_n\,\cos\,n\vartheta+b_n\,\sin\,n\vartheta) \] mit \[ a_n=O(n^{-1}),\quad b_n=O(n^{-1}); \] die Reihe \(\sum a_n\) sei konvergent, und es sei \[ \frac{a_0}{2}+\textstyle\sum\, \displaystyle a_n=s; \] dann ist mit \[ \begin{gathered} -\pi <\alpha<+\pi \;\text{und}\;0<\varrho<1\\ \int\limits_{-\pi }^{+\pi }\varphi(\vartheta-\alpha)\cdot|\, \vartheta-\alpha\,|^\varrho\cdot\cos\,n(\vartheta-\alpha)\cdot d\vartheta\sim 2s\cdot\varGamma(1-\varrho)\,\sin \frac{\pi }{2}\,\varrho\cdot|\,n\,|^{\varrho-1}.\end{gathered} \] II. \(\textstyle \sum\limits_{\mu=1}^{\infty } \displaystyle a_\mu\) sei konvergent, und es sei \[ \textstyle\sum a_\mu=t. \] Dann ist \[ \textstyle \sum\limits_{\mu=1}^{\infty } \displaystyle a_\mu(\mu+n)^{\varrho-1}\sim t\cdot n^{\varrho-1}, \] und wenn ferner \(a_n=O(n^{-1})\) ist, so ist \[ \textstyle \sum\limits_{\mu=1}^{\infty } \displaystyle a_\mu|\,n-\mu\,|^{\varrho-1}\sim t\cdot n^{\varrho-1}. \] III. \(\varphi(\vartheta)\) sei periodisch und integrierbar; es sei mit \[ \begin{gathered} a_n=O(n^{-1}),\quad b_n=O(n^{-1}),\\ \varphi(\vartheta)\sim\frac{a_0}{2}+\textstyle\sum \displaystyle(a_n\,\cos\,n\vartheta+b_n\,\sin\,n\vartheta), \end{gathered} \] und \(\sum b_n\) sei konvergent; dann ist \[ \textstyle \int\limits_{-\pi }^{+\pi } \displaystyle \varphi(\vartheta-\alpha)\cdot|\,\vartheta-\alpha\,|^\varrho\; \sin\,n(\vartheta-\alpha)\,d\vartheta=o(|\,n\,|^{\varrho-1}), \] mit \(-\pi <\alpha<+\pi \) und \(0 < \varrho < 1\). IV. Für jede periodische und integrierbare Funktion \(\varphi(\vartheta)\) deren \textit{Fourier}entwicklungen für \(\vartheta=\alpha\) konvergieren, und deren \textit{Fourier}koeffizienten in der Form \[ O(n^{-1}) \] abgeschätzt werden können, gilt \[ \begin{multlined} \int\limits_{-\pi }^{+\pi }\varphi(\vartheta)\cdot|\,\vartheta-\alpha\,| ^\varrho\cdot\left.\begin{matrix} \cos\\ \sin\end{matrix}\right\}\,n\vartheta \cdot d\vartheta\\ =2s\varGamma (1-\varrho)\,\sin\frac{\pi }{2}\varrho \left.\begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix}\right\}\, n\alpha\,|\,n\,|^{\varrho-1}+ o\,(|\,n\,|^{\varrho-1}), \end{multlined} \] wo \(s\) die Summe der \textit{Fourier}schen Reihe bezeichnet.