Über eine Hadamardsche Fragestellung. (Q1835203)

Ist \[ f(z)=\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle c_nz^n \] eine für \(|\,z\,|<1\) reguläre Potenzreihe und \(f(e^{i\vartheta})\) stetig, so heißt nach \textit{Hadamard} \(f(e^{i\vartheta})\) von beschränkter Abweichung, wenn die Beträge \[ \biggl|\,n\int\limits_a^b f(e^{i\vartheta})\begin{matrix} \cos\\ \sin\end{matrix}\, n\vartheta\;d\vartheta\,\biggr|\qquad (0\leqq a<b\leqq 2\pi ) \] für alle \(n\) gleichmäßig beschränkt sind. Wenn die Funktion \(f(e^{i\vartheta})\) von beschränkter Schwankung ist, so ist sie bekanntlich auch von beschränkter Abweichung. Verf. zeigt an dem Beispiel \[ f(z)=\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle \frac{z^{n^2}}{\sqrt{n^5}}, \] daß die Umkehrung dieses Satzes nicht richtig ist. In einem Zusatz bei der Korrektur behandelt Verf. noch ein zweites von \textit{A. Wintner} angegebenes Beispiel: \[ f(z)=\textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \displaystyle \frac{\cos\,\dfrac{2n\pi \,\log\,n}{\log\,2}+i\,\sin\, \dfrac{2n\pi \,\log\,n}{\log\,2}}{\sqrt{n^3}}z^n \] und weist im Anschluß daran auf die Frage hin, ob jede Funktion, die auf dem Rande des Einheitskreises von beschränkter Abweichung ist, den Einheitskreis auf eine Fläche von endlichem Flächenmaß abbildet. (IV 4.)