Sur la représentation des fonctions discontinues par les polynomes de M. S. Bernstein. (Q1835222)

Verf. untersucht die Approximation unstetiger Funktionen \(f (x)\) im Intervall \(\langle0,1\rangle\) durch eine Folge von \textit{Bernstein}schen Polynomen \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^n f\left(\frac kn\right)\binom nk x^k (1-x)^{n-k}. \] Für im \textit{Riemann}schen Sinne integrierbare Funktionen \(f (x)\) konvergieren die \(P_n(x)\) an jeder Stetigkeitsstelle von \(f (x)\) gegen \(f (x)\); an einer Unstetigkeitsstelle erster Art konvergieren die \(P_n(x)\) gegen das arithmetische Mittel von \(f (x + 0)\) und \(f (x - 0)\). Diese Tatsachen gelten auch für beliebige beschränkte \(f (x)\). Für eine Unstetigkeitsstelle \(\xi\) zweiter Art gilt: der Limes superior der Folge \(P_n(\xi)\) ist höchstens gleich dem arithmetischen Mittel vom \[ \limsup\limits_{x\to\xi+0} f (x)\quad \text{und}\quad \limsup\limits_{x\to\xi-0} f (x); \] analoge Beziehungen bestehen für den Limes inferior. Die Frage nach der Konvergenz der Folge \(P_n(x)\) an einer Unstetigkeitsstelle zweiter Art wird weiter untersucht. Die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften der Folge \(P_n(x)\) beruht auf dem folgenden Lemma: Im Intervall \((\alpha, \beta)\), \(0 < \alpha < \beta < 1\), hängt die Konvergenz der Folge der \textit{Bernstein}schen Polynome nur von der Konvergenz der Folge \[ \sum_{k=l}^pf\left(\frac kn\right)\binom nk x^k(1-x)^{n-k} \] ab, wobei \(p\) und \(l\) durch \[ \frac{l-1}n <\alpha\leqq\frac ln,\quad \frac pn\leqq\beta\leqq\frac{p+1}n \] definiert sind.