Über Wertverteilung bei rationalen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. (Q1835252)

In vorliegender Arbeit überträgt Verf. seine Untersuchungen über die Werteverteilung bei Polynomen (1923-1925, 1927; F. d. M. 49, 47 (JFM 49.0047.*)-48; 50, 252-253; 51, 97; 53, 279) auf rationale Funktionen. Es ergeben sich folgende Resultate: \(R(z)\) sei eine nicht reduzierbare rationale Funktion \(\dfrac{P(z)}{Q(z)}\); \(P(z)\) sei vom Grade \(n\), \(Q(z)\) vom Grade \(m\), und \(\mu\) bezeichne die größere dieser beiden Zahlen. \(a\) und \(b\) seien komplexe Zahlen, \(R(a) \not= R(b)\). Ist \(\gamma\) eine Zahl, \(\gamma\neq R(a)\), \(\gamma\neq R(b)\), die der Bedingung \[ \left|\arg\frac{\gamma-R(b)}{\gamma-R(a)}\right|\geqq\varphi,\quad 0<\varphi\leqq\pi \] genügt, so hat die Gleichung \(R(z) = \gamma\) in dem Kreisbogenzweieck \[ \arg\frac{z-b}{z-a}\geqq \frac{\varphi}{m+\mu} +m\psi,\quad \arg\frac{z-b}{z-a}\leqq -\frac{\varphi}{m+\mu} +\mu\psi, \] wenigstens eine Nullstelle, wenn \(\psi\) der Bedingung \(0\leqq\psi\leqq\dfrac\varphi{\mu(m+\mu)}\) genügt und \(R(z)\) in diesem Gebiet regulär ist. Eine Verallgemeinerung des \textit{Rolle}schen Theorems stellt der folgende Satz dar: \(R(z)\) sei auf der Strecke von \(a\) nach \(b\) regulär und \(\int\limits_a^bR(z)\, dz = 0\) bei Integration längs dieser Strecke. Dann hat \(R(z)\) wenigstens eine Nullstelle in dem Kreisbogenzweieck \[ \left|\arg\frac{z-a}{z-b}\right| \geqq\frac\pi{m+n}, \] falls \(R(z)\) in diesem Gebiet regulär ist. Dieser letzte Satz läßt sich, unter der Voraussetzung \(\int\limits_a^b R(z)z^r\,dz=0\) für \(r = 0,\, 1,\,\ldots,\, \mu-1\) zu der Aussage ergänzen, daß die Gesamtzahl der Nullstellen und Pole in dem Kreisbogenzweieck wenigstens gleich \(\mu\) ist, wenn dabei \(\mu\leqq m + n\) ist.