Sur un probléme de M. P. Montel. (Q1835268)

Es handelt sich um die folgende Fragestellung: Wann kann eine Funktion \(f (z)\) einer komplexen Veränderlichen \(z\) als Grenzwert einer in jedem Punkt von \(|z| < 1\) konvergenten Folge von Polynomen \[ P_1 (z), P_2 (z), \dots \] dargestellt werden? Verf. gibt eine hinreichende Bedingung an, die besagt, daß in einer gewissen Bedingungen genügenden abgeschlossenen Teilmenge \(E\) von \(| z | < 1\) \[ f (z) = \varphi (x, y) + i \psi (x,y) \] und dabei die Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) der ersten \textit{Baire}schen Klasse angehören müssen, und daß \(f (z)\) in den Komplementärgebieten \(D_n\) von \(E\) mit analytischen Funktionen \(f_n(z)\) übereinstimmen muß. Zwei Funktionen \(f (z)\) und \(g (z)\) dieser Art, die auf einem nirgends dichten \(E\) übereinstimmen, sind in unendlich vielen Gebieten \(D_n\) identisch. Wenn eine abgeschlossene Menge \(F\) nicht die Eigenschaften besitzt, die für die Gültigkeit der vorhergehenden Sätze wesentlich sind, so gibt es Funktionen \(\varphi\), \(\psi\) der ersten Klasse, so daß \(f = \varphi + i \psi\) durch keine Polynomfolge auf \(F\) approximiert werden kann.