Démonstration d'un théorème élémentaire sur les fonctions entières. (Q1835304)

Es seien \(f\) und \(g\) zwei ganze Funktionen. Verf. nennt \(g\) eine Limesfunktion (fonction limite) von \(f\), wenn es eine Folge \(a_1\), \dots, \(a_n\), \dots gibt, so daß \[ g(x)=\lim_{n\to\infty }f(x+a_n) \] gilt und die Konvergenz in jedem beschränkten Gebiet der \(x\)-Ebene eine gleichmäßige ist. Gegenstand der Arbeit ist es, zu beweisen, daß es ganze Funktionen gibt, bezüglich derer sich \textit{jede} ganze Funktion als Limesfunktion auffassen läßt. Offenbar genügt es, eine Funktion \(f\) zu konstruieren, die Limesfunktion aller Polynome mit rationalen Koeffizienten ist. Sei \(p_1\), \dots, \(p_n\), \dots die Folge dieser Polynome, so läuft diese Aufgabe darauf hinaus, \(f\) und eine Folge \(a_1\), \dots, \(a_n\), \dots so zu bestimmen, daß \[ \begin{alignedat}{2} |\,f(x+a_n)-&p_n(x)\,|<\;&&\varepsilon _n\;\;\text{für}\;\;|\,x\,|<r_n,\\ &\!\varepsilon _n\to0, && \\ &\!r_n\to\infty, &&\;\text{z. B.}\;\;r_n=n, \end{alignedat} \] oder \[ |\,f(x)-p_n(x-a_n)\,|<\varepsilon _n \] für alle \(x\) aus dem Kreise \(C_n\) um \(a_n\) mit dem Radius \(n\) gilt. Verf. konstruiert ein solches \(f\), das in der Form \(\sum p_\nu (x-a_\nu )\,e^{-c_\nu (x-a_\nu )^2}\), \(c_\nu \) reell \(\geqq 0\), angesetzt wird, unter Ausnutzung des starken Kleinwerdens der Funktion \(e^{-x^2}\) in einem Winkelraum \(-d<\arg\,x<d<\dfrac{\pi }{4}\).