The approximate functional equations for \(\zeta(s)\) and \(\zeta^2(s)\). (Q1835336)

Die Verf. geben im ersten Teil ihrer Arbeit einen Beweis der von ihnen mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln schon 1922 [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 21, 39--74 (1922; JFM 48.0345.01)] bewiesenen ``approximate functional equation'' für \(\zeta (s)\), die in der Abschätzung der Differenz \[ \zeta \,(s)-\textstyle \sum\limits_{n\leqq \xi }\displaystyle \frac{1}{n^s}-\textstyle \sum\limits_{n\leqq \eta}\displaystyle \frac{1}{n^{1-s}}.\chi\,(s)=R(\xi,\eta;s) \] mit \[ \begin{gathered} -\frac{1}{2}\leqq \sigma \leqq \frac{3}{2}, \xi >\alpha, \eta>\alpha ,\\ |\,t\,|=2\pi \xi \eta, s=\sigma +it,\\ \chi\,(s)=2(2\pi )^{s-1}\cdot \sin\frac{\pi }{2}s\cdot \varGamma (1-s),\end{gathered} \] wo \(\alpha \) eine positive Konstante bedeutet, in der Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad(A)} \hfill R(\xi,\eta;s)=O\Bigl(\xi ^{-\sigma }\Bigr)+ O\Bigl(\eta^{\sigma -1}\cdot |\,t\,|^{\tfrac{1}{2}-\sigma }\Bigr) \hfill} \] besteht, der einer früheren ohne funktionentheoretische Methoden vorgehenden Beweisanordnung für eine schwächere Fassung von (A) (M. Z. 10 (1921), 283-317; F. d. M. 48, 344 (JFM 48.0344.*)-345) nachgebildet ist. Im zweiten Teil der Arbeit teilen die Verf. einen von ihnen schon vor längerer Zeit gefundenen Beweis des folgenden Analogous von (A) für \((\zeta (s))^2\) mit: Es sei \(-\frac{1}{2}\leqq \sigma \leqq \frac{3}{2}\), \(\beta \) eine positive Konstante, \[ \begin{gathered} \xi >\beta, \eta>\beta, \xi \eta= \biggl(\frac{t}{2\,\pi }\biggr)^2, d(n)= \textstyle \sum\limits_{d|n}\displaystyle 1,\\ R_2(\xi,\eta;s)=(\zeta (s))^2 \textstyle \sum\limits_{n\leqq \xi }\displaystyle \frac{d(n)}{n^s}-4(2\pi )^{2s-2}\biggl(\sin\frac{\pi }{2}s\biggr)^2 (\varGamma (1-s))^2\textstyle \sum\limits_{n\leqq \eta}\displaystyle \frac{d(n)}{n^{1-s}};\end{gathered} \] dann ist \[ \displaylines{\rlap{\qquad(B)} \hfill R_2(\xi,\eta;s)=O\biggl(\xi ^{\frac{1}{2}-\sigma } \biggl(\frac{\xi +\eta}{t}\biggr)^\frac{1}{4}\log t\biggr). \hfill} \] Die hierauf führende Beweisanordnung läßt sich auch zum Beweis von (A) verwenden. (B) wurde von \textit{A. E. Ingham} (Proceedings L. M. S. (2) 27 (1927), 273-300; F. d. M. 53, 313 (JFM 53.0313.*)) auf die Untersuchung eines mit \(|\,\zeta (\sigma +it)\,|^4\) für \(\sigma =\frac{1}{2}\) zusammenhängenden Mittelwertintegrals angewendet.