Mean-value theorems in the theory of the Riemann zeta-function. (Q1835339)

Den Gegenstand der Untersuchung bildet der Limes \[ \displaylines{\rlap{\qquad(A)} \hfill \lim_{T\to\infty }\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T}|\,\zeta (\sigma +it)\,|^{2k}\,dt, \hfill} \] für den für ganzes positives \(k\) und \(\sigma >1\) gesichert ist, daß er existiert, nur von \(k\) und \(\sigma \) abhängt und sich in einfacher Weise durch eine mit den in der \textit{Dirichlet}entwicklung von \((\zeta (s))^k\) auftretenden Koeffizienten zusammenhängende Reihe ausdrückt. Für \(k = 1\) und \(k = 2\) haben \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} dies auch für \(\sigma >\frac{1}{2}\) bewiesen. Für beliebig ganzes \(k\) läßt es sich für \(\sigma >\frac{1}{2}\) nur unter Annahme der \textit{Lindelöf}schen Vermutung (\(\zeta (s)=O(t^s)\) mit beliebigem \(\varepsilon >0\), \(s=\sigma +it\) und festem \(\sigma >\frac{1}{2}\)) beweisen. Verf. zeigt nun, daß der Satz über den Limes (A) auch für nichtganzzahliges \(k\) für \(\sigma >\frac{1}{2}\) aus der \textit{Lindelöf}schen Vermutung folgt. Ferner gelingt es ihm, spezielle gebrochene Werte von \(k\), insbesondere \(k=\frac{1}{2}\), unter Zugrundelegung einer gesicherten \textit{Hardy-Littlewood}schen Abschätzung statt der \textit{Lindelöf}schen Vermutung zu behandeln.