On the zeros of Riemann's zeta-function. (Q1835340)

Verf. verschärft unter Heranziehung der \textit{Hardy-Littlewood}schen ``approximate functional equation'' (vgl. z. B. \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}, Proceedings L. M. S. (2) 29 (1929), 81-97; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 203-204) für \(\zeta (s)\) in der Gestalt \[ \zeta (s)=\textstyle \sum\limits_{n<\xi }\displaystyle \frac{1}{n^s}+2^s\pi ^{s-1} \sin\frac{\pi }{2}s\cdot \varGamma (1-s)\cdot \textstyle \sum\limits_{n<\eta}\displaystyle \frac{1}{n^{1-s}}+O(\xi ^{-\sigma })+O(\eta^{\sigma -1}\cdot t^{\frac{1}{2}-\sigma }) \] mit \(s=\sigma +it\), \(2\pi \xi \eta=t>0\) (gleichmäßig in einem Intervall der Form \(-c_1\leqq \sigma \leqq +c_1\), \(\xi >c_2\), \(\eta>c_2\) mit konstanten \(c_1>0\) und \(c_2 > 0\)) die \textit{Carlson-Landau}sche Abschätzung \[ \displaylines{\rlap{\qquad(A)} \hfill N(\sigma,T)=O(T^{1-(2\sigma -1)^2+\varepsilon }) \hfill} \] (bei beliebigem \(\varepsilon > 0\)) für festes \(\sigma >\frac{1}{2}\) und \(T\to\infty \), wo \(N(\sigma,T)\) die Nullstellen \(\varrho \) von \(\zeta (s)\) mit \[ \varrho =\beta +i\gamma, 0<\gamma <T, \beta >\sigma \] abzählt, zu \[ \displaylines{\rlap{\qquad(B)} \hfill N(\sigma,T)=O\raise5pt\hbox{\(\Bigl(\)}T^{1 \tfrac{2\sigma -1}{3-2\sigma }+\varepsilon }\raise5pt\hbox{\(\Bigr)\)}, \hfill} \] wobei er, ähnlich wie \textit{Carlson} und \textit{Landau} beim Beweis von (A) (Arkiv för Mat. 15, Nr. 20 (1921) und 16, Nr. 7 (1922); F. d. M. 48, 337-338) die Hilfsfunktion \[ \zeta (s)\textstyle \sum\limits_{n<z}\displaystyle \mu (n)n^{-s}-1 \] für passendes \(z = z (t)\) heranzieht.