On hyperlemniscate functions, a family of automorphic functions. (Q1835454)

Bekanntlich kann jede uniformisierende Variable der hyperelliptischen Gleichung \[ s^2=f(z)= (z-e_1)(z-e_2)\ldots(z-e_5) \] als Quotient zweier Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung aufgefaßt werden, in welcher jedoch noch drei akzessorische Parameter fungieren, deren Bestimmung bis jetzt nicht gelungen ist. Nach einer ohne Beweis ausgesprochenen Behauptung des Verf. hat man nun bei der Grenzkreisuniformisierung diesen Parametern solche Werte zu geben, daß die Differentialgleichung die Form \[ \frac{d^2y}{dx^2} +\frac3{16} \left( \frac{{f'}^2}{f^2} -\frac 65\frac{f''}f \right) y=0 \] annimmt. Es wird gezeigt, daß die Behauptung für die spezielle Gleichung \[ s^2 = z^5 + 1 \] zutrifft. Die so entstehenden Uniformisierenden nennt Verf. ``hyperlemniskatische Funktionen''. Hier läßt sich die Differentialgleichung durch einfache Umformung in die der hypergeometrischen Funktion \(F (\alpha, \beta,\gamma; x)\) mit \(\alpha=\frac15\); \(\beta=\frac25\); \(\gamma=\frac45\) überführen. Nach Angabe der erzeugenden Substitutionen der zugehörigen Gruppe wird der Fundamentalbereich derselben, ein aus zwei aneinander grenzenden Kreisbogenfünfecken bestehendes Kreisbogenachteck, an Hand einer Figur erläutert.