Solution of an integral equation. (Q1835463)

Lösungen der singulären Integralgleichung \[ f(x) = \lambda\int\limits_0^\infty e^{-xy} f(y)\,dy \tag{1} \] wurden zuerst von \textit{H. Weyl} (1908; F. d. M. 39, 408 (JFM 39.0408.*)) angegeben. Sie sind von der Form \(f (x) = Ax^{-a} + Bx^{a-1}\), wo \(a\), \(A\), \(B\) gewissen Bedingungen genügen müssen. Das Ziel der vorliegenden Note ist, zu zeigen, daß diese ``\textit{Weyl}schen Lösungen'' auch die einzigen sind. Unter gewissen einschränkenden Voraussetzungen wurde dies von den Verfassern bereits früher bewiesen (\textit{G. H. Hardy} and \textit{E. C. Titchmarsh}, 1924; F. d. M. 50, 289 (JFM 50.0289.*)). Nunmehr wird das folgende allgemeine Resultat gewonnen: ``Jede Funktion \(f (x)\), die so beschaffen ist, daß das im \textit{Lebesgue}schen Sinn genommene Integral \(\displaystyle\int\limits_a^b e^{-xy} f(y)\, dy\) für jedes endliche Intervall \((a, b)\) mit \(0 < a< b\) und jedes reelle \(x\) existiert, und daß ferner der Grenzwert \(\lim\limits_{\varepsilon\to0,\,Y\to\infty}\displaystyle\int\limits_\varepsilon ^Y e^{-xy} f(y)\, dy\) für jedes reelle \(x\) vorhanden und gleich \(f (x)\) ist, ist eine ``\textit{Weyl}sche Lösung'' der Gleichung (1).'' Der Beweis zeigt zugleich, daß auch die mit (1) verwandten Integralgleichungen \[ f (x) = \lambda^2 \int\limits_0^\infty \frac{f(y)}{y+x}\,dx\quad \text{und}\quad F (s) = \lambda^2 \int\limits_0^\infty \frac{F(t)}{ \mathop{\text{ch}}\frac12(t-s)}\, dt \] nur ``\textit{Weyl}sche Lösungen'', d. h. hier Lösungen von der Form \(f (x) = Ax^{-a} + Bx^{a-1}\) bzw. von der Form \(F (s) = Ae^{as} + Be^{-as}\) oder \(A+Bs\) besitzen.