Additional note on certain integral equations. (Q1835464)

Die vorliegende Arbeit bildet die Fortsetzung einer früheren Arbeit der Verf. (1924; F. d. M. 50, 289 (JFM 50.0289.*)). Es handelt sich um die Gleichung \[ f(x)=\frac1\pi\int\limits_0^\infty \frac{\sin t}t \{f(x+t) + f(x-t)\}\,dt \tag{1} \] und um \[ f'(x) = \tfrac12\int\limits_0^\infty k(t)\{f(x + t)-f(x-t)\}\,dt \] für die Fälle \[ k(t)=\frac{J_1(t)}t,\qquad (3)\quad\;k(t)=\frac{e^{-t}}t. \tag{2} \] Die früher gegebene Diskussion der Gleichungen (1) und (2) wird vereinfacht, und die der Gleichung (3) wird ergänzt durch die notwendige (und ziemlich tief liegende) Rechtfertigung der Vertauschung der Reihenfolge der Integrationen in einem mehrfachen Integral. Endlich geben die Verf. einen neuen Beweis des Hauptsatzes für die Gleichung (3) -- nämlich des Satzes, daß eine Lösung \(f (x)\), die für \(0 < A <1\) ein \(O (e^{A|x|})\) ist, eine quadratische Funktion sein muß. Die Methoden, die dabei angewandt werden, sind durchaus ``real''.