Sur les fonctionelles linéaires. I. (Q1835478)

\(E\) sei eine normierte vektorielle Menge (vgl. \textit{S. Banach}, 1922; F. d. M. 48, 201), deren Elemente mit \(x,\, y,\, z,\,\ldots\) bezeichnet werden sollen, während beliebige reelle Zahlen mit \(a,\, b,\, c,\,\ldots \); \(\alpha,\, \beta,\, \gamma,\ldots\) bezeichnet werden. Jedem Element \(x\subset E\) entspricht eine Zahl \(\geqq 0\), seine ``Norm'' \(\| x \|\). \(G\) sei eine lineare Teilmenge von \(E\) (d. h. eine Teilmenge, welche mit je zwei Elementen \(x_1\), \(x_2\) auch jede lineare Kombination \(\alpha_1x_1 + \alpha_2x_2\) enthält). In \(G\) wird ein Funktional \(f (x)\) definiert, indem jedem Element \(x\subset G\) eine reelle Zahl \(\xi = f (x)\) zugeordnet wird. \(f (x)\) heißt linear, wenn es (1) additiv (\(f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)\) für \(x_1\subset G\), \(x_2\subset G\)), (2) stetig (\(\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = f (x)\), falls \(x_n\to x\) für \(x_n\subset G\), \(x\subset G\)) ist. Zu einem in \(G\) definierten linearen Funktional \(f (x)\) gibt es Zahlen \(M > 0\) derart, daß \[ | f (x)| \leqq M \|x\| \quad \text{für}\;x \subset G. \] Das Minimum dieser Zahlen \(M\) heißt ``Norm'' von \(f (x)\) in \(G\) und wird mit \(\| f \|_G\) bezeichnet. Verf. beweist im wesentlichen folgende Sätze über lineare Funktionale: (1) Zu einem in \(G\) definierten linearen Funktional \(f (x)\) gibt es ein in \(E\) definiertes lineares Funktional \(\varphi(x)\) derart, daß \[ \varphi(x) = f(x)\quad \text{für}\quad x\subset G,\qquad \|\varphi\|=\|f\|_G. \] (2) \(\{x_n\}\) sei eine Folge von Elementen aus \(E\), \(\{c_n\}\) eine Zahlenfolge und \(M\) eine positive Zahl. Notwendig und hinreichend für die Existenz eines linearen Funktionals \(f (x)\) in \(E\), das den Relationen \[ f(x_n) =c_n\quad (n =1,\,2,\,\ldots),\qquad \|f\|_E \leqq M \] genügt, ist, daß die Ungleichung \[ \left|\sum_{i=1}^r\lambda_i c_i\right| \leqq M\left\| \sum_{i=1}^r \lambda_i x_i\right\| \] für jedes endliche System von reellen Zahlen \(\lambda_i\) erfüllt ist. (3) Hat \(y_0\subset E\) einen Abstand \(d > 0\) von \(G\), so existiert in \(E\) ein lineares Funktional \(f (x)\) mit folgenden Eigenschaften: \[ f(x) = 0\quad \text{für}\quad x\subset G,\quad f(y_0) = 1,\quad \| f \| = \frac1d. \] Daraus folgt: (4) Ist \(G\) abgeschlossen, so ist \(G \equiv E\), falls jedes in \(G\) identisch verschwindende lineare Funktional auch in \(E\) identisch verschwindet. (5) Ist \(W\) eine beliebige Teilmenge von \(E\) und \(y_0\) nicht Element von \(W\), dann ist notwendig und hinreichend für die Existenz einer Folge \(\{w_n\}\subset W\), welche die Relationen \[ w_n = \sum_{i=1}^{r_n}\alpha^{(n)}_i x_i \quad (x_i \subset W),\qquad \lim_{n\to\infty} w_n = y_0 \] erfüllt, daß für jedes in \(E\) definierte, in \(W\) identisch verschwindende Funktional \(f (x)\) auch \(f(y_0) = 0\) ist.