Sur les fonctionelles linéaires. II. (Q1835479)

A. Anknüpfend an die vorstehende gleichbetitelte Arbeit des Verf. wird zunächst eine lineare Menge \(L\) von linearen Funktionalen \(f (x)\), welche in einer normierten und vollständigen vektoriellen Menge \(E\) definiert sind, betrachtet. 1. \(\vartheta\) sei eine Limeszahl, \(\{c_\xi\}\) (\(1\leqq\xi < \vartheta\)) eine beschränkte Folge reeller Zahlen vom Ordnungstypus \(\vartheta\). Dann bedeute \[ \varlimsup_{\xi\to\vartheta} c_\xi \] die untere Grenze der Zahlen \(K\), für welche die Ungleichung \(c_\xi \leqq K\) von einer bestimmten (von \(K\) abhängigen) Ordnungszahl ab erfüllt ist. (Analog: \(\varliminf\limits_{\xi\to\vartheta} c_\xi = \varlimsup\limits_{\xi\to\vartheta}(- c_\xi)\).) Ist \(\{f_\xi(x)\}\) eine Folge linearer Funktionale vom Typus \(\vartheta\), deren Norm \[ \| f_\xi\|_E\leqq M\qquad (1\leqq\xi<\vartheta) \] ist, dann gibt es ein lineares Funktional \(f (x)\), das für jedes \(x\subset E\) den Ungleichungen \[ \varliminf_{\xi\to\vartheta} f_\xi (x) \leqq f (x) \leqq \varlimsup_{\xi\to\vartheta} f_\xi (x) \] genügt. Jedes derartige lineare Funktional \(f (x)\) heiße ein ``Grenzfunktional'' der Folge \(\{f_\xi(x)\}\). \(L\) heißt ``schwach abgeschlossen'', falls für jede Limeszahl \(\vartheta\) und jede Folge \(\{f_\xi\}\) (\(f_\xi\subset L\), \(\|f_\xi\|\) beschränkt) vom Typus \(\vartheta\) ein zu \(L\) gehöriges Grenzfunktional existiert. Satz: Ist \(L\) schwach abgeschlossen und \(\varphi\) ein nicht zu \(L \) gehöriges lineares Funktional, bezeichnet ferner \(M\) die untere Grenze der Zahlen \(\| f- \varphi \|\) (\(f \subset L\)) und \(M_1\) eine positive Zahl \({}< M\), dann existiert ein \(x_0 \subset E\) so, daß \[ f(x_0) = 0,\quad \varphi(x_0) = 1,\quad \| x_0\|\leqq M_1. \] Daraus folgt, daß, falls das Nullelement das einzige Element aus \(E\) ist, in dem alle Funktionale aus \(L\) verschwinden, \(L\) notwendig alle linearen Funktionale enthält. 2. Eine Folge linearer Funktionale \(\{f_n(x)\}\) heißt ``schwach konvergent'' gegen ein Funktional \(f (x)\), falls \[ \lim_{n\to\infty} f_n (x) = f (x) \quad\;\text{für}\quad x\subset E \] gilt, in Zeichen \[ \lim_{n\to\infty} f_n = f. \] \(f (x)\) ist wieder linear. Die Menge \(L\) heißt ``schwach separabel'', falls sie eine abzählbare Folge \(\{f_n\}\) enthält, derart, daß zu jedem \(f\subset L\) eine Teilfolge von \(\{f_n\}\) existiert, welche schwach gegen \(f\) konvergiert. Ist \(E\) separabel, so ist \(L\) stets schwach abgeschlossen. Satz: Ist \(E\) separabel, so ist notwendig und hinreichend für die schwache Abgeschlossenheit von \(L\), daß der Limes jeder schwach konvergenten Folge aus \(L\) wieder ein Funktional von \(L\) ist. 3. Entspricht jedem \(f\subset L\) eine Zahl \(A(f)\), welche die Bedingungen erfüllt: a) \( A (\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2) =\alpha_1 A (f_1) + \alpha_2 A (f_2)\)\qquad (\(f_1\subset L\), \(f_2\subset L\); \(\alpha_1\,\alpha_2\) reell), b) \(\lim\limits_{n\to\infty} A(f_n) = A(f)\), wenn \(f_n\subset L\) und \(\lim\limits_{n\to\infty} f_n = f\subset L\), \noindent so heißt \(A(f)\) eine in \(L\) definierte ``lineare schwach stetige Operation''. Es existiert zu \(A (f)\) ein \(M > 0\) derart, daß \[ |A(f)|\leqq M \|f\|_E \quad \text{für}\quad f\subset L. \] Satz: Ist \(E\) separabel, \(L\) schwach abgeschlossen und \(A(f)\) eine lineare, schwach stetige Operation, die in \(L\) definiert ist und die Ungleichung \[ |A(f)|\leqq M\|f\|_E \] erfüllt, dann gibt es zu jeder Zahl \(M_1 > M\) ein Element \(x_0\subset E\) derart, daß \[ A(f) = f(x_0)\quad\text{für}\quad f\subset L,\qquad \|x_0\|\leqq M_1. \] B. \(E\) und \(E'\) seien zwei normierte und vollständige vektorielle Mengen. Jedem \(x\subset E\) entspreche ein \(y\subset E'\): \[ y=U (x). \] \(U (x)\) heißt eine in \(E\) definierte ``Operation'', insbesondere eine ``lineare Operation'', falls sie additiv und stetig ist. Die in \(E\) bzw. \(E'\) definierten linearen Funktionale werden mit \(X\) bzw. \(Y\) bezeichnet. Eine lineare Operation \(U (x)\) ordnet jedem \(Y\) ein \(X = Y [U (x)]\) zu. Diese Zuordnung ist eine im Gebiet der linearen Funktionale Y definierte Operation \[ X=\overline U(Y). \] Sie heißt die zu \(y = U (x)\) ``adjungierte Operation''. Über diese Operationen wird u. a. bewiesen: 1. a) Wenn die zu \(X= \overline U (Y)\) inverse Operation vorhanden und stetig ist, so ist die Gleichung \(y = U (x)\) für jedes gegebene \(y\) lösbar. b) Wenn die Gleichung \(X=\overline U (Y)\) für jedes gegebene \(X\) lösbar ist, so \(\alpha\)) existiert die zu \(U (x)\) inverse Operation und ist stetig, \(\beta\)) ist das durch \(U (x)\) vermittelte Bild von \(E\) die Menge der \(y\), welche die Bedingung \(Y(y) = 0\), falls \(\overline U(Y) = 0\), erfüllen. Ebenso gilt der durch Vertauschung der Operationen \(y = U (x)\) und \(X = \overline U (Y)\) daraus hervorgehende Satz. 2. Definiert die lineare Operation \(y = U (x)\) eine eineindeutige Abbildimg der Menge \(E\) auf die ganze Menge \(E'\), so ist auch die inverse Operation linear. 3. \(E\) sei ein vektorieller Raum, der zwei verschiedene Normierungen: \(\|x\|\) und \(\|x\|_1\) zuläßt und für beide vollständig ist. Ferner ziehe \(\lim\limits_{n\to\infty} \| x_n\| = 0\) stets \(\lim\limits_{n\to\infty} \| x_n\|_1 = 0\) nach sich. Dann zieht auch \(\lim\limits_{n\to\infty} \|x_n\|_1=0\) stets \(\lim\limits_{n\to\infty} \|x_n\| = 0\) nach sich.