Remarque sur les fonctionelles lineaires dans les champs \(L^p\). (Q1835480)

Verf. beweist die folgende Umkehrung eines Satzes von \textit{F. Riesz} (Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues, Paris 1913, p. 59; vgl. F. d. M. 44, 401 (JFM 44.0401.*)-402): \( U (X)\) sei ein lineares Funktional im Raume \(L^p\) der Folgen \(X = (x_1, x_2,\ldots, x_n,\ldots)\), für die \(\displaystyle\sum\limits_n |x_n|^p\) konvergiert (\(p > 1\)). Dann sind die folgenden drei Bedingungen äquivalent: (1) \(U(L^p) = L^p\); (2) \(U (L^p)\) ist eine Menge von zweiter Kategorie; (3) es gibt eine positive Zahl \(M\), so daß für jedes \(X\) in \(L^{\tfrac p{p-1}}\) gilt: \[ \|U^*(X)\|\geqq \frac{\|X\|}M. \] Dabei ist \[ \|X\|=\bigl(\sum |x_n|^p\bigr)^{\tfrac1p}, \] und \(U^*(X)\) bezeichnet das Funktional, das aus \(Y = U(X)\) durch Transposition der Koeffizientenmatrix des Systems \[ y_i= \sum \alpha_{ik}x_k \] entsteht. Ferner gilt: Wenn \(U (X)\) ein vollstetiges Funktional in einem linearen Raum \(E\) ist, so ist \(U (E)\) in \(E\) kompakt und von erster Kategorie.