Une remarque sur l'homéomorphie des champs fonctionels. (Q1835481)

\(S^p\) (\(p\geqq 1\)) bezeichne das Feld der im Intervall \(\langle0,1\rangle\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne meßbaren Funktionen, für die \[ \int\limits_0^1|f(x)|^p\,dx \] existiert. \(s^p\) bezeichne das Feld der Folgen \(a_n\) mit positiven Gliedern, für die \[ \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p \] konvergiert. Die Operationen \[ \begin{aligned} &F(f) = \mathop{\text{sign}} f\cdot | f |^{\frac1p},\\ &G(g)=\mathop{\text{sign}} g\cdot|g|^p \end{aligned} \] sind im Feld \(S^1\) bzw. \(S^p\) stetig und liefern eine umkehrbare eindeutige Beziehung zwischen den Feldern \(S^1\) und \(S^p\). Analog beweist man die Homöomorphie von \(s^1\) und \(s^p\). Endlich folgt aus der \textit{Parseval}schen Gleichung, daß die Felder \(S^2\) und \(s^2\) homöomorph sind, also auch \(s^p\) und \(S^q\) für \(p\geqq1\), \(q\geqq 1\).