Über die Existenz der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. (Q1835521)

Verf. zeigt an Hand von Beispielen, daß die von \textit{Nagumo} (1928; F. d. M. 54, 458 (JFM 54.0458.*)-459) gegebene Definition der Lösung eines Differentialgleichungssystems \[ \frac{d y_{\nu}}{dx} = f_{\nu} (x, y_1, \ldots, y_n) \] für unstetige \(f_{\nu}\) durch zu große Allgemeinheit der als Lösungen zugelassenen Funktionen unzweckmäßig erscheint. Verf. ersetzt in der \textit{Nagumo}schen Definition, nach der die Hauptderivierten \(D_{\pm}^{\pm} y_{\nu}\) einer Lösung den Ungleichungen \[ \overline{f}_{\nu} (x, y_1(x), \ldots, y_n(x)) \geqq D_{\pm}^{\pm} \varphi_{\nu} (x) \geqq {\underline{f}}_{\nu} (x, y_1(x), \ldots, y_n(x)) \] genügen sollen, die oberen und unteren Limesfunktionen \(\overline{f}_{\nu}\) bzw. \(\underline{f}_{\nu}\) durch die oberen bzw. unteren Limesfunktionen \(\overline{f}_{\nu}^*\) bzw. \(\underline{f}_{\nu}^*\) von \(f_{\nu}\) bei Vernachlässigung von Nullmengen. Auch für diese Definition läßt sich die Existenz der Lösungen mit vorgegebenen Anfangswerten beweisen. Sind die \(\overline{f}_{\nu}^*\) und \(\underline{f}_{\nu}^*\) beschränkt, so sind die Lösungen ebenfalls beschränkt. Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen ist der Existenzsatz auch für nicht beschränkte \(f_{\nu}\) richtig.