Über Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme. (Q1835565)

Ein \textit{Sturm-Liouville}sches Polynomsystem ist eine Folge von Polynomen \[ P_0(x), \, P_1(x), \ldots, \] wobei \(P_{\nu}\) genau vom Grade \(\nu\) ist, und jedes dieser Polynome für einen passenden Eigenwert \[ \lambda_0, \, \lambda_1, \ldots \] Lösung der Differentialgleichung \[ p_0(x) y'' + p_1(x) y' + p_2(x) y + \lambda y = 0 \] ist. Verf. stellt sich die Aufgabe, alle \textit{Sturm-Liouville}schen Polynomsysteme zu bestimmen. Durch Untersuchung der niedrigsten Gradzahlen ergibt sich, daß \(p_2(x)\) konstant und, wie man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen darf, gleich Null ist. Ferner ist \(p_1(x)\) linear, \(p_0(x)\) quadratisch in \(x\). Durch lineare Variablentransformation kommt man zu folgenden fünf Normalformen der Differentialgleichung: \[ \begin{aligned} (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag{1} \\ y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag{2} \\ x y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag{3} \\ x^2 y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag{4} \\ x (1-x) y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0. \tag{5} \end{aligned} \] In allen diesen Fällen führt ein Ansatz der Lösung mit unbestimmten Keoffizienten, ev. nach weiterer linearer Transformation, zu zweigliedrigen Rekursionsformeln für die Koeffizienten, so daß man entscheiden kann, ob für gegebene Eigenwerte \(\lambda_{\nu}\) Polynomlösungen \(P_{\nu}\) existieren. Für (1) ist \(\lambda_n = - n, \, P_n(x) = x^n\); (2) führt auf \textit{Hermite}sche, (3) auf \textit{Laguerre}sche und verallgemeinerte \textit{Laguerre}sche Polynome. (4) liefert für \(\delta = 0\), abgesehen von gewissen Ausnahmefällen, nur die Potenzen von \(x\), für \(\delta \neq 0\) Polynome der Form \[ P_n^{(k)}(x) = \sum\limits_{\varrho = 0}^{n} \varrho ! {n \choose \varrho} {-n -k \choose \varrho } x^{\varrho}; \] die Lösung von (5) laßt sich, abgesehen von speziellen Ausnahmefällen, die nicht näher untersucht werden, auf (4) zurückführen. (IV 6 A.)